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Sulle superficie che contengono un sistema di geodetiche a torsione costante. (Italian) JFM 20.0773.03
Ist \(u,v\) ein orthogonales Coordinatensystem auf einer Fläche \(S\), und setzt man: \[ E=\varSigma(\frac{\partial x}{\partial u})^2,\quad G=\varSigma(\frac{\partial x}{\partial v})^2, \] \[ D=\varSigma X\;\frac{\partial^2x}{\partial u^2},\quad D'=\varSigma X\;\frac{\partial^2x}{\partial u\partial v},\quad D''=\varSigma X\;\frac{\partial^2x}{\partial v^2}, \] wo \(X,Y,Z\) die Richtungscosinus der Normale bedeuten, so genügen die Functionen \(E,G,D,D',D''\) den Codazzi’schen Formeln: \[ \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{D''}{\sqrt G}\right)-\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{D'}{\sqrt G}\right)-\frac{D'}{\sqrt{EG}}\;\frac{\partial\sqrt E}{\partial v}-\frac DE\;\frac{\partial\sqrt G}{\partial u}=0, \] \[ \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{D}{\sqrt E}\right)-\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{D'}{\sqrt G}\right)-\frac{D'}{\sqrt{EG}}\frac{\partial\sqrt E}{\partial v}-\frac{D''}{G}\;\frac{\partial\sqrt E}{\partial v}=0, \] \[ \frac{{D'}^2-DD''}{\sqrt{EG}}=\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{1}{\sqrt E}\;\frac{\partial\sqrt G}{\partial u}\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{\sqrt G}\;\frac{\partial\sqrt E}{\partial v}\right)\,. \] Von diesen Formeln ausgehend, gelangt der Verfasser zunächst zu folgendem wichtigen Satze:
Enthält eine Fläche \(S\) ein System von geodätischen Linien \(v=\) const. mit (für jede Linie) constanter Torsion \(\frac 1T\) (wo \(T=f(v)\) ist), so gelten für dieselbe die Formeln: \[ ds^2=du^2+T^2\left(\frac{\partial\varphi}{\partial v}\right)^2\,dv^2,\quad D=2\;\frac{\partial\varphi}{\partial u},\quad D'=\frac{\partial\varphi}{\partial v}, \] \[ D''=T^2\;\frac{\partial\varphi}{\partial v}\;\frac{\frac{1}{T^2}\,\frac{\partial\varphi}{\partial v}-\frac{\partial^3\varphi}{\partial u^2\partial v}}{2\,\frac{\partial\varphi}{\partial u}}, \] wo die Function \(\varphi\) von \(u,v\) die folgende partielle Differentialgleichung befriedigt: \[ (a)\quad \frac{\partial}{\partial v}\left\{\left(\frac{\partial\varphi}{\partial u}\right)^2+\frac{1}{2T^2}\right\}=\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{\frac{1}{T^2}\,\frac{\partial\varphi}{\partial v}-\frac{\partial^3\varphi}{\partial u^2\partial v}}{2\,\frac{\partial\varphi}{\partial u}}\right\}\,; \] und jeder derartigen Function \(\varphi\) entspricht umgekehrt eine Fläche, welche ein System von geodätischen Linien mit constanter Torsion enthält.
Zieht man nun aus irgend einem Punkte \(P\) der Fläche \(S\) eine Strecke von der Länge \(k\), welche in der Schmiegungsebene der durch \(P\) gehenden geodätischen Linie mit constanter Torsion liegt und mit der Tangente dieser Linie einen Winkel \(\theta\) bildet, und ist \(k\) eine constante Grösse, \(\theta\) eine Function von \(u,v\), so übt man dadurch auf \(S\) eine Transformation aus, welche der Analogie wegen als eine “Bäcklund’sche Transformation” bezeichnet werden darf. Der Ort der Grenzpunkte der Strecke \(k\) ist eine neue Fläche \(S_1\) welche durch die Gleichungen: \[ x_1=x+k(\cos\theta\;\frac{\partial x}{\partial u}+X\sin\theta),\quad y_1=\cdots,\;z_1=\cdots \] bestimmt ist. Setzt man \(k=T\cos\sigma\) (wo \(\sigma\) natürlich eine Function von \(v\) ist), und ist \(\theta\) ein Integral der Differentialgleichung: \[ d\theta-\left\{\sin\theta\left(\frac{1-\sin\sigma}{T\cos\sigma}\right)-2\;\frac{\partial\varphi}{\partial u}\right\}du \] \[ -\left\{T\text{cotg}\sigma\left[\sin\theta\left(\frac{\frac{1}{T^2}\frac{ \partial\varphi}{\partial v}-\frac{\partial^3\varphi}{\partial u^2\partial v}}{2\frac{\partial\varphi}{\partial u}}\right)-\cos\theta\;\frac{\partial^2\varphi}{\partial u\partial v}\right] -\frac{1+\sin\sigma}{\sin\sigma}\;\frac{\partial\varphi}{\partial v}\right\}dv=0, \] so sind \(v=\) const. auf der Fläche \(S\), geodätische Linien mit der (für jede Linie) constanten Torsion \(\frac 1T=f(v)\), \(u=\) const. ihre orthogonalen Trajectorien, und die Function \(\varphi\) verwandelt sich in \(\varPhi=-\varphi-\theta\), welche eine neue Lösung der Gleichung (a) bildet.
Ist \(T\) eine constante Grösse, etwa \(T=1\), so mag die Fläche \(S\) als eine “asymptotische Fläche” bezeichnet werden, da sie, wie Herr Bianchi bewiesen hat, als der Ort der asymptotischen Linien eines einem Weingarten’schen Tripel angehörenden Systems von pseudosphärischen Flächen angesehen werden darf. Die Function \(\varphi\), welche einer asymptotischen Fläche entspricht, genügt nach dem Vorhergehenden der Gleichung: \[ 2\;\frac{\partial\varphi}{\partial u}\;\frac{\partial^2\varphi}{\partial u\partial v}=\frac{\partial[\varphi]}{\partial u}, \] wo: \[ [\varphi]=\frac{\frac{\partial\varphi}{\partial v}-\frac{\partial^3\varphi}{\partial u^2\partial v}}{2\,\frac{\partial\varphi}{\partial u}} \] ist.
Ist \(C_2\) eine Curve mit constanter Torsion, welche in einem Punkte von einer Curve \(C_1\) derart geschnitten wird, dass die Tangente zu \(C_1\) mit der Binormale zu \(C_2\) zusammenfällt, so existirt eine einzige asymptotische Fläche, welche \(C_2\) als geodätische Linie und \(C_1\) als orthogonale Trajectorie derselben enthält.
Der Ausdruck: \[ [\varphi]^2+(\frac{\partial^2\varphi}{\partial u\partial v})^2-(\frac{\partial\varphi}{\partial v})^2 \] ist in Bezug auf die Bäcklund’sche Transformation invariant.
Stellen wir uns nun vor, die Fläche \(S\) reducire sich auf eine einzige Curve mit der Torsion 1, und bezeichnen wir mit \(u\) die Bogenlänge, mit \(\varrho\) den Flexionsradius, mit \(\alpha,\beta,\gamma\); \(\xi,\eta,\zeta\) die Richtungscosinus der Tangente, bezw. Hauptnormale. Wendet man auf diese Curve eine Bäcklund’sche Transformation an, wo \(k=\cos\sigma=\) const. und \(\theta\) das allgemeine Integral der Differentialgleichung \[ \frac 1\varrho+\frac{\partial\theta}{\partial u}=\sin\theta\;\frac{1-\sin\sigma}{\cos\sigma} \] ist, so ergiebt sich für jeden Wert der willkürlichen Constante eine Curve \(C_2\) mit der constanten Torsion 1, deren Coordinaten: \[ x_2=x+\cos\sigma\{\alpha\cos\theta+\xi\sin\theta\},\quad y_2=\cdots,\;z_2=\cdots \] sind; und die Curven \(C_2\) erzeugen eine Fläche \(S_1\), deren Linienelement durch: \[ ds^2=\left\{1+\left(\frac{\cos\sigma}{\varrho}-\sin\theta\right)^2-\sin^2\sigma\sin^2\theta\right\}du^2 +2\cos\sigma\left(\frac{\cos\sigma}{\varrho}-\sin\theta\right)du\,d\theta+\cos^2\sigma d\theta^2 \] dargestellt wird. Ist \(v\) die willkürliche Constante, und \(\theta=\theta(u,v)\), so erhält das Linienelement die einfachere Form: \[ ds^2=du^2+2\sin\sigma\cos\sigma\sin\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial v}du\,dv+\cos^2\sigma\left(\frac{\partial\theta}{\partial v}\right)^2dv^2; \] hier sind die Curven \(u=\) const. Kreislinien, welche von den Curven \(v=\) const. unter dem veränderlichen Winkel \[ \text{arc\,cos}(\sin\sigma\,\sin\theta) \] geschnitten werden. Ist insbesondere \(\sigma=0\), so sind die Curven \(u=\) const. Kreislinien mit dem Radius 1, die Curven \(v=\) const. ihre orthogonalen Trajectorien; die Fläche \(S\), ist asymptotisch und darf als eine “asymptotisch-cyklische Fläche” bezeichnet werden. Für diese Flächen hat das Integral der Gleichung (a) die Form: \[ \varphi=-\theta-\tfrac 12\int \frac{du}{\varrho}, \] und \(\theta\) befriedigt die Gleichung: \[ \frac 1\varrho+\frac{\partial\theta}{\partial u}=\sin\theta. \] \(\varphi\) kann auch durch die Gleichung: \[ \frac{\partial\varphi}{\partial u}=\sin(\varphi+F)+\frac{dF}{du} \] definirt werden, wo \(F\) eine willkürliche Function von \(u\) ist; dann ist \(\frac{1}{2\frac{dF}{du}}\) der Flexionsradius \(\varrho\) der Curve \(C\), welche der Ort der Mittelpunkte der Kreislinien ist.
Eine Verallgemeinerung der soeben definirten Flächen bilden die “asymptotisch-hypercyklischen Flächen”, nämlich diejenigen Flächen, welche ein System von Linien \(u=\) const. mit der constanten Flexion 1 enthalten. Die zugehörige Function \(\varphi\) befriedigt die Gleichung: \[ [\varphi]^2+(\frac{\partial^2\varphi}{\partial u\,\partial v})^2=(\frac{\partial\varphi}{\partial v})^2. \] Die Bäcklund’sche Transformation führt eine asymptotisch-hypercyklische Fläche in eine Fläche von derselben Beschaffenheit über. Reducirt sich insbesondere die erstere auf eine asymptotisch-cyklische Fläche, so geschieht dasselbe bei der zweiten.
Diejenige Transformation, in welche die Bäcklund’sche Transformation für \(\sigma=0\) übergeht, darf passend als “complementare Transformation” bezeichnet werden. Auf die Ergebnisse dieser Transformation geben wir hier nicht ein.
Was den Zusammenhang der vorliegenden Untersuchungen mit der Theorie der Weingarten’schen Tripel betrifft, so ergiebt sich der folgende Satz: Eine beliebige asymptotische Fläche \(S_1\) gehört unendlich vielen Weingarten’schen Tripeln an. Ein solches Tripel ist vollständig bestimmt, wenn neben \(S_1\) eine andere asymptotische Fläche \(S_1\) gegeben ist, welche eine orthogonale Trajectorie der geodätischen Linien von constanter Torsion mit \(S\), gemeinschaftlich hat.
Von den zahlreichen Druckfehlern wollen wir nur folgende hervorheben. Im ersten Gliede des Ausdruckes für \[ \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{T^2}\;\frac{\frac{\partial x}{\partial v}}{\frac{\partial\varphi}{\partial v}}\right) \] S. 90, 97 und 108 muss \(\frac{\partial x}{\partial u}\) statt \(\frac{\partial x}{\partial v}\) geschrieben werden.

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Full Text: Numdam EuDML