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Ueber eine neue Interpretation der Fundamentalgleichungen der Dynamik. (German) JFM 20.0928.01
Math. Ann. XXXI, 1-42 (1888); Ungar. Ber. V, 131-179 (1888).
Der Verfasser charakterisirt die Aufgabe, welche er sich gestellt hat, folgendermassen (S. 3):
Für die einfachste aller Bewegungserscheinungen, die freie Bewegung eines einzelnen Punktes von der Masse \(m\) unter der Einwirkung einer Kraft \(P\), hat man die folgenden beiden Sätze:
1) Die Grösse der Beschleunigung (oder auch der in die Richtung der Kraft fallenden Beschleunigungscomponente) ist \(P/m\).
2) Beschleunigung und Kraft sind gleich gerichtet.
Es hat ein unbestreitbares Interesse, ein solches allgemeines Grundgesetz der Mechanik aufzustellen, das für die Bewegung eines unter dem Einfluss ganz beliebiger Kräfte stehenden Punktsystems bei der Annahme irgend welcher auch die Zeit und Geschwindigkeit enthaltenden Bedingungsgleichungen gültig ist, diese Bewegung vollständig bestimmt und dabei nur aus der Verallgemeinerung jener beiden Sätze besteht. Da der erste jener Sätze eine Gleichung, der zweite ein System von gleichberechtigten Gleichungen vertritt, die wieder in einem Maximums- oder Minimumssatze vereinigt werden können, wird dieses Grundgesetz sich dementsprechend aus zwei Teilen zusammensetzen.
In dem ersten Abschnitte, “einleitende Festsetzungen”, wird betont, dass bei Ermittelung des Grundgesetzes der Bewegung in erster Reihe die Invarianteneigenschaften der Bewegung zu fixiren sind. Der zweite Abschnitt führt eine Reihe neuer mechanischer Begriffe ein. Sind \(x_i,y_i,z_i\) die Coordinaten eines Systempunktes, \(m_i\) seine Masse, \(X_i,Y_i,Z_i\) die parallel zu den Coordinatenaxen genommenen Componenten der zur Zeit \(t\) auf \(m_i\) einwirkenden Kraft, so heisst die Summe: \[ \textstyle\sum m_i(x_i^{\prime\prime 2}+y_i^{\prime\prime 2}+z_i^{\prime\prime 2}) \qquad (i=1,2,3,\dots,n) \] die “Beschleunigungsenergie” des Punktsystems, ferner die Summe \[ \textstyle\sum (X_ix_i'+Y_iy_i'+Z_iz_i')\qquad (i=1,2,3,\dots,n) \] das “Geschwindigkeitsvirial” der wirkenden Kräfte; dasselbe ist also der nach der Zeit genommene Differentialquotient der bis zum Zeitpunkte \(t\) geleisteten Arbeit. Ferner erhält die Summe \[ \textstyle\sum \frac{1}{m_i}(X_i^2+Y_i^2+Z_i^2)=E\qquad (i=1,2,3,\dots,m) \] den Namen “Energem” des Kräftesystems, als charakteristische Eigenschaft des wirkenden (Kräfte-) Systems, welcher im bewegten Systeme die Energie entspricht. Ist ferner \[ M=\textstyle\sum m_i,\quad R^2=M.E,\quad X_i=M\alpha_i,\quad Y_i=M\beta_i,\quad Z_i=M\gamma_i, \] so drückt die Gesamtheit der Coefficienten \(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i\) eine zweite Eigenschaft des Kräftesystems aus und wird als “Disposition des Kräftesystems” bezeichnet. Jedes Kräftesystem kann in einer und nur in einer Weise so in zwei partielle Systeme zerlegt werden, dass das eine dieser Systeme eine gegebene Disposition besitzt und die Summe der Energeme der beiden partiellen Systeme gleich dem Energeme des gegebenen Systems ist. Es folgen noch mehrere Sätze über die Dispositionen von Kräftesystemen, deren Aufzählung hier unmöglich ist.
Nach diesen Vorbereitungen werden im dritten Abschnitte die “Grundgesetze der Bewegung” aufgestellt. Man findet zunächst im §15 (S. 27) die Sätze (erstes Gesetz):
Das Beschleunigungsvirial der freien Componente des auf das Punktsystem wirkenden Kräftesystems ist in jedem Zeitpunkte gleich dem Energem dieser freien Componente des Kräftesystems.
Unter allen Bewegungen, die den Zwangsgleichungen und dem in Bezug auf das Beschleunigungsvirial soeben ausgesprochenen Satze gemäss erfolgen könnten, findet in Wirklichkeit diejenige statt, für welche die Beschleunigungsenergie in jedem Zeitpunkte ein Minimum ist.
Zur Erklärung des Begriffes “freie Componente” diene die Bemerkung, dass beim Vorhandensein von Zwangsbedingungen das Kräftesystem für jeden Zeitpunkt in einer (und nur einer) bestimmten Weise so in zwei Componenten zerlegt werden kann, dass die eine dem Zwange unterworfen, die andere eine freie Componente ist.
In den folgenden §§15-17 wird nun gezeigt, wie dieses Gesetz immer zu den gewöhnlichen Differentialgleichungen der Bewegung und nur zu diesen führt; der §18 dagegen deutet an, wie ein anderes Grundgesetz der Bewegung erhalten werden kann, wenn man die dem Beschleunigungsvirial und der Beschleunigungsenergie zukommenden Rollen mit einander vertauscht. Ein Satz, dem der erste Teil des Gesetzes fehlt, und welcher zwar notwendige, aber nicht hinreichende Angaben zur vollständigen Bestimmung der Bewegung enthält, lautet:
Bei der wirklich stattfindenden Bewegung ist das Beschleunigungsvirial in jedem Zeitpunkt grösser als bei jeder anderen Bewegung, welche den Zwangsgleichungen entspräche, und für welche die Beschleunigungsenergie in jedem Zeitpunkte dieselbe wäre, wie für die wirklich stattfindende Bewegung.
Es trennen sich bei der weiteren Behandlung die freie und die Zwangsbewegung:
Das Beschleunigungsvirial eines ohne Zwang wirkenden Kräftesystems ist in jedem Zeitpunkte gleich der Beschleunigungsenergie des Punktsystems; das Energem des wirklich auftretenden Kräftesystems ist kleiner als das jedes anderen Kräftesystems, dessen Beschleunigungsvirial gleichfalls in jedem Zeitpunkte der Beschleunigungsenergie des Funktsystems gleich ist.
Das Energem des Systems der Zwangskräfte ist ein Minimum, verglichen mit dem Energem aller jener Kräftesysteme, nach deren Hinzufügung zu dem ursprünglich gegebenen Systeme der wirkenden Kräfte die freie Bewegung des Punktsystems eine den Zwangsgleichungen entsprechende wäre.
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