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Sur une équation différentielle du second ordre qui joue un rôle important dans la mécanique céleste. (French) JFM 20.1248.01

Diese Differentialgleichung, welche eine grosse Rolle in der Störungstheorie spielt, ist: \[ \frac{d^2 z}{dv^2}+z\left(n^2+2\alpha \cos (lv+b)\right)=U, \] wo \[ U=\varSigma A_i \cos V_i, \quad \quad V_i=l_iv+b_i \] und \(n,\;\alpha ,\;l,\;b,\;A_i,\;l_i\) und \(b_i\) gegebene Constanten sind. Tisserand behandelt erst die Methode von Lindstedt, welche darauf beruht, dass man \(z\) nach steigenden Potenzen von \(\alpha\) entwickelt. Betrachtet man zunächst den Fall \(U=0\), und verwandelt durch eine leichte Transformation obige Differentialgleichung in \[ \frac{d^2 z}{dv^2}+z\left( a_0^2 +2a_1\cos 2v \right)=0, \] so setze man \[ \begin{matrix} \l & \l\\ z=z_0+a_1z_1+a_1^2z_2+\cdots & +a_1^pz_p +\cdots ,\\ u=a_0+a_1u_1+\cdots \quad \quad & +a_1^pu_p +\cdots ,\\ w=uv+\psi,\end{matrix} \] wo die \(z_i\) von \(a_1\) unabhängige trigonometrische Functionen von \(v\) und \(w\) sind und , um keine Willkür zu lassen, \(z_0=\cos w\) gesetzt wird. Die \(u\) sind zu bestimmende Functionen von \(a_0\) und \(\psi\) eine beliebige Constante. Für \(z_i\) wird die Form angenommen: \[ z_i=\sum_{i=-p}^{i=+p}B_i^{(h)}\cos (w+2hv), \] wo die \(B^{(h)}_i\) als Functionen von \(a_0\) zu bestimmen sind. Es ergeben sich dann genügend viele Bestimmungsgleichungen, aus welchen man findet: \[ \begin{aligned} & u=a_0\left[ 1+\frac{a_1^2}{4a_0^2(1-a_0^2)} +a_1^3\cdot )\right],\\ & w=\psi +u\cdot v,\\ & z=\eta_0\cos w +\frac{a_1}{4(1+a_0)}\eta_0\cos(w+2v)+\frac{a_1}{4(1-a_0)}\cdot \eta_0 \cos(w-2v)\\ & \qquad\qquad\qquad +\frac{a_1^2}{32(1+a_0)(2+a_0)}\cdot \eta_0 \cdot \cos(w+4v)\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad +\frac{a_1^2}{32(1-a_0)(2-a_0)}\cdot \eta_0 \cdot\cos(w-4v)+\cdots .\end{aligned} \] \(\eta_0\) und \(\psi\) sind die beiden Integrationsconstanten der Differentialgleichung. Ist \(u\) nun nicht gleich 0, so wendet man die bekannte Methode der Variation der Constanten an, welche, wenn die Coefficienten \(A_i\) nicht gross sind, schnell zu brauchbaren Werten führt.
Die allgemeinen Resultate wendet Tisserand auf die Mondtheorie an, indem er sich auf Gyldén’s Theorie der intermediären Bahn des Mondes stützt, welche ihrerseits auf dem Begriff der mittleren Bewegungen aufgebaut ist. Bei Vernachlässigung der Excentritäten, Neigungen und der vierten Potenz des Verhältnisses \(m\) der mittleren Bewegungen erhält man für die Tangente \(s\) der Breite des Mondes über der Ekliptik eine Differentialgleichung, welche leicht auf die obige Form zurückgeführt werden kann, und aus deren Integration die retrograde Bewegung des Mondknotens auf \(\frac{1}{50}\) ihres Wertes genau sich ergiebt. Dasselbe ergiebt sich für den Radiusvector, und hier folgt die Bewegung des Perihels sogar auf \(\frac{1}{600}\) genau, was aber, wie Herr Tisserand nachweist, einigen glücklichen Umständen zuzuschreiben ist.
Die zweite Methode, die Gyldén’sche, beruht darauf, dass in die Gleichung: \[ \frac{d^2z}{dv^2}+z(a_0^2+2a_1\cos v)=U \] statt der Variable \(v\) eine neue Variable \(u\) eingeführt wird durch die Gleichung: \[ u=\int_0^v \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}, \quad \left(K=\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\right), \] wodurch sie umgewandelt wird in \[ \frac{d^2z}{dv^2}+z\left[k^2\;\frac{1-q^2}{4q}\;a_1\sin^2 \text{\,am\,} u-(a_0^2+2a_1\gamma)\left(\frac{\pi}{2K}\right)^2\right]=\left(\frac{\pi}{2K} \right)^2 \cdot U_1, \] wo dann \(U_1\) auch \(z\) enthält, aber mit dem kleinen Coefficienten \(a_1\) multiplicirt. Zunächst \(U_1=0\) setzend, kann man bei passender Wahl von \(k\) die Gleichung auf die Form bringen \[ \frac{d^2z}{du^2}-z(2k^2\sin^2\text{am\,}u-h)=0 , \] welche Hr. Hermite in der Arbeit: “Sur quelques applications des fonctions elliptiques” zu integriren gelehrt hat. Aus dem Integral findet man durch Variation der Constanten das Integral der ersteren Gleichung, welches nach späterer und für praktische Berechnung notwendiger Auflösung genau dieselben Resultate giebt, wie die Methode von Hrn. Lindstedt.
Am Schluss der Arbeit findet sich noch eine Note, in welcher ein dem Verfasser von Hrn. Hermite mitgeteilter Beweis abgedruckt ist, dass ein gewisser, in der Arbeit benutzter, von den ganzen elliptischen Integralen und den Parametern desselben abhängender Ausdruck eine gerade Function von \(q=e^{-\pi\frac{K'}{K}}\) ist.
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Full Text: Numdam EuDML