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Ueber das vollständige Combinantensystem zweier binärer Formen. (German) JFM 21.0108.03
Bedeuten \(\varphi, \psi\) zwei binäre Formen \(m^{\text{ter}}\) Ordnung und setzt man nach Cayley \[ \begin{aligned} F & = \frac{\varphi (x_1, x_2) \psi (y_1, y_2)- \varphi (y_1, y_2)\psi (x_1, x_2)}{(xy)}\\ & = \varSigma c_{ik} x_{1}^{i} x_{2}^{m - i - 1} y_{1}^{k} y_{2}^{m - k - 1}\\ & (k, i = 0, 1, 2, \dots, m - 1),\end{aligned} \] so stellt bekanntlich die Determinante \[ R = \varSigma \pm c_{00} c_{11} \dots c_{m-1 m-1} \] die Resultante der beiden Formen dar. Die ersten Unterdeterminanten von \(R\) nehmen nur \(2m - 1\) verschiedene Werte an, welche mit \(\gamma_{0}, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \dots, \gamma_{2m - 2}\) bezeichnet werden mögen. Aus diesen Werten bilde man die binäre Form \((2m - 2)^{\text{ter}}\) Ordnung \[ f = \gamma_{0} x_{1}^{2m - 2} - \left( \begin{matrix} 2m - 2\\ 1\end{matrix} \right) \gamma_{1} x_{1}^{2m - 3} x_{2} + \cdots + \gamma_{2m - 2}x_{2}^{2m - 2}, \] wo dann \(f\) auch dadurch erhalten werden kann, dass man die Determinante \(R\) mit den Grössen \((-1)^{\lambda} \left( \begin{matrix} 2m - 2\\ \lambda \end{matrix} \right) x_{1}^{\lambda} x_{2}^{m - 1 - \lambda}\) rändert. Nun ist \[ F.R^{m - 2} = - \left| \begin{matrix} \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ \gamma_{0} & \gamma_{1} & \cdots & \gamma_{m-1} & x_{2}^{m-1}\\ \gamma_{1} & \gamma_{2} & \cdots & \gamma_{m} & x_{2}^{m - 2} x_{1}\\ \quad \cdot & \quad \cdot & \cdots & \quad \cdot & \quad \cdot\\ \gamma_{m - 1} & \gamma_{m} & \cdots & \gamma_{2m - 2} & x_{1}^{m - 1}\\ y_{2}^{m- 1} & y_{2}^{m - 2} y_{1} & \cdots & y_{1}^{m - 1} & 0\end{matrix} \right| , \] und da die Determinante rechter Hand eine Covariante von \(f\) darstellt, so ergiebt sich der Satz: Die Cayley’sche Form \(F\) kann durch Multiplication mit einer Potenz der Resultante von \(\varphi, \psi\) in eine Covariante einer einzigen binären Form \((2m - 2)^{\text{ter}}\) Ordnung übergeführt werden. Da aber alle Combinanten von \(\varphi, \psi\) aus \(F\) abgeleitet werden können, so folgt, dass das volle Combinantensystem zweier binären Formen \(\varphi, \psi\) (bis auf einen Factor, der eine Invariante ist) mit dem vollen Formensystem einer einzigen binären Form \(f\) zusammenfällt. Der Verfasser behandelt dann im folgenden besondere Beispiele und Anwendungen des bewiesenen Theorems; so ergiebt sich eine allgemeine Darstellung der Resultante von \(\varphi, \psi\) als Function der simultanen Invarianten von \((\varphi, \psi)_{1}, (\varphi, \psi)_{3}, \dots\). Auch wird darauf hingewiesen, wie vermöge des Brill’schen Combinantensatzes sofort ein entsprechendes Theorem abgeleitet werden kann, welches sich auf die Combinanten von \(m - 1\) Formen \(m^{\text{ter}}\) Ordnung bezieht.

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