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On the reduction of a series with decreasing powers of one variable to a continued fraction. (Sur la réduction en fraction continue d’une série procédant suivant les puissances descendantes d’une variable.) (French) JFM 21.0187.01

Die Reihe \(\sum_{0}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} x^{-(n + 1)}\) kann im allgemeinen in jeden der beiden Kettenbrüche \[ \begin{aligned} & F = \frac{c_0}{x} \dotplus \frac{c_1}{1} \dotplus \frac{c_2}{x} \dotplus \frac{c_3}{1} \dotplus \cdots \dotplus \frac{c_{2n - 1}}{1} \dotplus \frac{c_{2n}}{x} \dotplus \cdots,\\ & F' = \frac{c_0}{x + c_1} \dot- \frac{c_1 c_2}{x + c_2 + c_3} \dot- \frac{c_3 c_4}{x + c_4 + c_5} \dot- \cdots\end{aligned} \] übergeführt werden, wo die \(c\) rationale Functionen der \(a\) sind, sodass \(c_n\) nur von \(a_1, a_2, \dots, a_n\) abhängt. Die Ausdrücke der \(c\) durch die \(a\) lassen sich leicht angeben; indem der Verfasser aber auch die umgekehrten Ausdrücke sucht, ergiebt sich ein intimer Zusammenhang mit der Zerlegung der beiden quadratischen Formen von unendlich vielen Variabeln: \[ \sum_{0}^{\infty} \sum_{0}^{\infty} a_{i + k} X_{i} X_{k} \quad \text{und} \quad \sum_{0}^{\infty} \sum_{0}^{\infty} a_{i + k + 1} X_{i} X_{k} \] in die Summe von Quadraten, derart dass man die Kettenbrüche sofort hinschreiben kann, falls diese Zerlegungen bekannt sind. Der Verfasser giebt vier Beispiele; jedes der Integrale \[ \begin{aligned} & \int_{0}^{\infty} e^{-xz} \cos^{-k} zdz, \quad \int_{0}^{\infty} e^{-xz} \sin \text{am\,} z dz,\\ & \int_{0}^{\infty} e^{-xz} \cos \text{am\,} zdz, \quad \int_{0}^{\infty} e^{-xz} \varDelta \text{am\,} zdz\end{aligned} \] besitzt eine nach negativen Potenzen von \(x\) fortschreitende (divergente) Reihenentwickelung und lässt sich in einen (convergenten) Kettenbruch der obigen Art umformen.

MSC:

40A15 Convergence and divergence of continued fractions
40A05 Convergence and divergence of series and sequences
30B70 Continued fractions; complex-analytic aspects
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Full Text: Numdam Numdam EuDML

Online Encyclopedia of Integer Sequences:

Euler (or secant) numbers E(n).