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Note on the series $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}$. (Note sur la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^s}$.) (French) JFM 21.0246.02
Der Verfasser definirt die früher (Académie des Sciences de Stockholm 1888) durch $\zeta (s, x)$ bezeichnete Function $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^s}$ für beliebige Werte von $s$ und $x$, indem er für $1 : n^{s}$ das bekannte Integral einsetzt. Auf Grund dieser Darstellung beweist er die Formel: $$\zeta (s, x) + e^{2\pi i s} \zeta \left(s, \frac{1}{x} \right) = -e^{\frac{i\pi}{2}s}(2\pi)^{s} \chi \left( s, \frac{\log x}{2i\pi} \right),$$ welche als besonderen Fall die früher von ihm abgeleitete enthält. Hierin bedeutet $\chi (s, x)$ gleichfalls eine Verallgemeinerung der Bernoulli’schen Function, welche der Herr Verfasser, ebenso wie $\zeta (s, x)$, durch ein Integral definirt und in die Form $$- \frac{1}{\varGamma (s)}\ \sum_{r = 0}^{\infty}\ \frac{1}{(r + x)^{1 - s}}$$ überführt. Schliesslich zeigt er, dass zwischen den Functionen $\chi$ und $\zeta$ die Gleichung besteht: $$\chi (s, 1 - x) = e^{-i \pi s} \chi (s, x) - 2i (2\pi)^{-s} e^{\frac{-i\pi}{2}} \sin \pi s. \zeta (s, e^{i \pi x}).$$
Reviewer: Weltien, Dr. (Berlin)

11M41Other Dirichlet series and zeta functions
Zeta function
Full Text: Numdam EuDML