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Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. III. (German) JFM 21.0376.01
Über die beiden ersten Abhandlungen des Autors ist im Jahrgang 1888 (siehe JFM 20.0368.03) berichtet worden. In der gegenwärtigen Abhandlung untersucht Killing die Zusammensetzung aller \(r\)-gliedrigen Gruppen, die, ohne einfach zu sein, doch ihre eigenen Hauptuntergruppen sind. Wenn also die Zusammensetzung der Gruppe durch die bekannten Lieschen Relationen: \[ (X_i X_k) = \sum_{1}^{r}{}_s c_{iks} X_s f \quad \quad (i, k = 1, \dots, r) \] bestimmt wird, so sollen nicht alle \(r\)-reihigen Determinanten der Matrix: \[ \begin{aligned} & | c_{ik1} \dots c_{ikr} | \\ (i, k = 1, \dots, r)\end{aligned} \] verschwinden.
Ich muss mich begnügen, das überraschend einfache Ergebnis mitzuteilen, zu dem Herr Killing gelangt; denn die von ihm benutzten Methoden auch nur anzudeuten, ist hier unmöglich.
Herr Killing teilt alle Gruppen ein in zerfallende und in nicht zerfallende. Eine \(r\)-gliedrige Gruppe \(G\) zerfällt, wenn sie eine gewisse Anzahl Untergruppen \(G_1, G_2, \dots, G_m\) enthält, die folgende Eigenschaften besitzen: Erstens soll die Summe der Gliederzahlen der Gruppen \(G_1 \dots G_m\) gerade gleich \(r\) sein; zweitens sollen niemals zwei dieser Gruppen eine infinitesimale Transformation gemein haben; drittens sollen die infinitesimalen Transformationen einer jeden der Gruppen \(G_1 \dots G_m\) mit den infinitesimalen Transformationen aller übrigen von diesen Gruppen vertauschbar sein. Enthält \(G\) keine Untergruppen von der angegebenen Beschaffenheit, so bezeichnet sie Herr Killing als nicht zerfallend.
Ist nun eine \(r\)-gliedrige Gruppe ihre eigene Hauptuntergruppe und zerfällt sie nicht, so kann man ihre infinitesimalen Transformationen \(X_1 (f) \dots X_{r} (f)\) so wählen, dass die ersten \(r_1 : X_1(f) \dots X_{r_1} (f)\) eine \(r_1\)-gliedrige einfache Gruppe erzeugen, während die übrigen \(X_{r_1 + 1}(f) \dots X_{r}(f)\) eine \((r - r_1)\)-gliedrige Gruppe vom Range Null erzeugen.
Zerfällt dagegen die Gruppe, so denke man sich die oben definirten Untergruppen \(G_1 \dots G_m\) gebildet; jede dieser Untergruppen wird ihre eigene Hauptuntergruppe sein, und ausserdem kann man annehmen, dass keine dieser Untergruppen zerfällt; dann lässt sich offenbar der obige Satz über nicht zerfallende Gruppen auf jede einzelne der Gruppen \(G_1 \dots G_m\) anwenden.
Die wirkliche Aufstellung aller nicht zerfallenden Gruppen, die ihre eigenen Hauptuntergruppen sind, hat Herr Killing soweit gefördert, dass nur noch wenig hinzuzufügen bleibt; er bestimmt insbesondere fast alle Untergruppen dieser Art, deren invariante Untergruppe vom Range Null aus lauter vertauschbaren Transformationen besteht.

MSC:
57Sxx Topological transformation groups
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Diese Annalen Bd. XVI, S. 624, drittletzte Gruppe unter C.
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