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Note on the double periodicity of the elliptic functions. (English) JFM 21.0468.01
Ist \[ dw = \sqrt{(\alpha_1 - w)(\alpha_2 - w)}dz, \] worin \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) irgend welche complexe Grössen, so ist klar, dass, wenn \(z\) eine Parallele zur \(x\)-Axe durchläuft, \(w\) eine Ellipse mit den Brennpunkten \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) beschreibt, und dass, wenn \(z\) eine Parallele zur \(y\)-Axe durchläuft, \(w\) eine confocale Hyperbel beschreibt. Aus der gleichen Eigenschaft für die Ellipse und die Hyperbel ergiebt sich die einfache Periodicität der inversen Function zu dem Integral \[ \int dw : \sqrt{(\alpha_1 - w)(\alpha_2 - w)}. \] In ganz analoger Weise wird im Vorliegenden die doppelte Periodicität der elliptischen Function, die die inverse Function des elliptischen Integrals erster Gattung ist, rein geometrisch nachgewiesen. Benutzt wird ein Satz von Clifford (Educ. Times, März 1866 und Januar 1874), der von Crofton (Lond. M. S. Proc. 1867. II. 37) bewiesen wurde und so lautet: Wenn 1, 2, 3, 4 vier concyklische Brennpunkte einer bicircularen Curve vierter Ordnung durch den Punkt \(P\) sind, so halbirt die Tangente an diese Curve im Punkte \(P\) den Winkel zwischen den Kreisen \(P12, P34\). Aus dieser Betrachtungsweise ergeben sich auch die Aditionstheoreme für die betreffenden inversen Functionen.
MSC:
33E05 Elliptic functions and integrals
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