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On the complex multiplication of elliptic functions. (Zur complexen Multiplication elliptischer Functionen.) (German) JFM 21.0484.01
Der Verfasser gab in seiner zweiten Abhandlung “Zur Theorie der elliptischen Functionen” (Acta Math. XI. 333-390, s. F. d. M. XX. 1888. 471, JFM 20.0471.01) Methoden zur Berechnung von “Klasseninvarianten”. So wurden diejenigen Zahlen eines zu jeder Klasse quadratischer Formen von negativer Determinante zugehörigen algebraischen Zahlkörpers genannt, durch welche alle Zahlen desselben Körpers rational ausdrückbar sind. Im allgemeinen werden alle conjugirten Körper, welche den verschiedenen zu derselben Determinante gehörigen Formenklassen entsprechen, durch Adjunction der Quadratwurzel aus der Determinante mit einander identisch, indem sie in denselben Normalkörper übergehen, dessen Grad das Doppelte der Klassenzahl ist. Hier wird nun der besondere Fall betrachtet, wo die zu der Determinante gehörigen Klassen alle ambig sind und daher jedes Geschlecht nur eine Formenklasse enthält. In diesem Falle ist der Körper der Klasseninvarianten auch ohne Adjunction der Quadratwurzel aus der Determinante ein Normalkörper, und zwar ein Abel’scher Körper, und in diesem Falle sind die Klasseninvarianten rational ausdrückbar durch die Quadratwurzeln aus den in der Determinante aufgehenden Primzahlen. Die Anzahl dieser merkwürdigen Determinanten ist, wie Euler und Gauss durch Induction geschlossen haben, und wie bisher noch nicht streng bewiesen ist, eine begrenzte, nämlich 65. Für diese 65 Determinanten werden nun die Klasseninvarianten wirklich berechnet, aber nicht nach den in der oben angeführten Abhandlung gegebenen Methoden, die wegen der allzugrossen Complication und der Höhe der auftretenden Zahlen sich nicht geeignet erwiesen. Doch gelangt der Verfasser ohne viele Rechnung zum Ziel durch Benutzung der Untersuchung von Kronecker (“Ueber die Auflösung der Pell’schen Gleichung mittels elliptischer Functionen”, Berl. Ber. 22. Jan. 1863). Die Lösung der Pell’schen Gleichung und die Klassenzahlen quadratischer Formen für gewisse positive und negative Determinanten müssen als bekannt vorausgesetzt werden.

MSC:
11G15 Complex multiplication and moduli of abelian varieties
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Full Text: DOI EuDML