×

Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace. (French) JFM 21.0530.01

Der Gedanke, die Hülfsmittel der Transformationstheorie für die regelmässigen Gebietsteilungen des Raumes zu verwerten, ist für eine unendliche Anzahl der Teile (bei hyperbolischer Massbestimmung) von Poincaré und Dyck durchgeführt worden (s. F. d. M. XV. 1883. 110 u. 348, JFM 15.0110.01; JFM 15.0348.02). Das Problem der endlichen Raumteilungen (für elliptische Massbestimmung) ist auf anderem Wege zuerst von Hossfeld gelöst worden (s. F. d. M. XVIII. 1886. 456, JFM 18.0456.01). Herr Goursat, der schon in einer früheren Arbeit über die Symmetrie-Ebenen eines regulären Polyeders (s. F. d. M. XIX. 1887. 781, JFM 19.0781.03) zu einer dieser endlichen Teilungen gelangt war, behandelt in obiger Arbeit dasjenige allgemeine Problem der Gruppentheorie, welches zu den in Rede stehenden Raumteilungen führt. Es handelt sich dabei um die Bestimmung derjenigen Gruppen linearer orthogonaler Substitutionsgruppen mit einer Variable, jedoch ohne dass alle diese Combination zweier linearen, nicht homogenen Substitutionsgruppen mit einer Variable, jedoch ohne dass alle diese Combinationen erschöpft zu werden brauchen.
Der erste von den vier Abschnitten der Arbeit giebt zunächst eine Ableitung des Liouville’schen Satzes: “Jede isogonale Raumtransformation kann durch eine endliche Anzahl von Inversionen ersetzt werden,” aus dem Dupin’schen Theorem. Der Verfasser nennt eine solche Transformation gerade oder schief, jenachdem sie einer geraden oder ungeraden Anzahl von Inversionen entspricht, oder jenachdem sie eine gegebene Figur in eine congruente oder symmetrische verwandelt. Sodann wird gezeigt, wie jede isogonale Transformation unter Anwendung pentasphärischer Coordinaten (nach Darboux) durch eine lineare orthogonale Substitution mit 5 Variabeln reducirt sich auf 4, wenn die bei der Transformation unverändert bleibende Kugel eine der 5 Orthogonalkugeln ist. Das System vereinfacht sich weiter, indem 3 Kugeln in die Ebenen eines rechtwinkligen Systems übergehen, und die Mittelpunkte der beiden letzten, mit den Radien 1 und \(i\), in den Coordinatenanfang fallen, wobei die imaginäre Kugel die bei der Transformation unveränderte ist. So ergeben sich, wenn \(x, y, z\) rechtwinklige Coordinaten eines Punktes sind, für die 5 pentasphärischen zunächst die einfachen Ausdrücke: \[ 2x,\; 2y,\; 2z,\; x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1,\quad i(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1). \] Diese reduciren sich durch Division mit \((x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1)\) auf vier, welche bezw. mit \(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\) bezeichnet werden und auch als rechtwinklige Coordinaten eines Punktes im vierdimensionalen Raume gedeutet werden können. Sind \(U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}\) lineare homogene Functionen von \(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\), so gehen dieselben durch Einführung der complexen Variabeln \[ \begin{aligned} & u_{1} - iu_{4} = v_{1},\quad -u_{2} - iu_{3} = v_{2},\\ & u_{1} + iu_{4} = v_{4},\quad u_{2} - iu_{3} = v_{3}\end{aligned} \] in die Functionen \(V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\) über, deren Zusammenhang mit den vorigen sich ergiebt, wenn man in den letzten Formeln die kleinen Buchstaben durch die grossen ersetzt. Wird schliesslich \[ \eta = \frac{v_{1}}{v_{3}} = \frac{v_{2}}{v_{4}}\,,\quad - \xi = \frac{v_{4}}{v_{3}} = \frac{v_{2}}{v_{1}} \] gesetzt, und bedeuten \(\eta'\) und \(\xi'\) dasselbe für die Grössen \(V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\), so wird eine lineare orthogonale Substitution mit 4 Variabeln durch eine der Formen \[ \begin{aligned} & \text{(A)} \quad \quad \quad \eta' = \frac{a\eta + b}{c\eta + d}\,, \quad \xi' = \frac{l\xi + m}{p\xi + q}\,,\\ & \text{(B)} \quad \quad \quad \eta' = \frac{a\xi + b}{c\xi + d}\,, \quad \xi' = \frac{l\eta + m}{p\eta + q}\end{aligned} \] ausgedrückt, jenachdem die Substitution gerade oder schief ist. Für reelle Transformationen müssen die Coefficienten \(c, d, p, q\) bezw. conjugirt imaginär sein zu \(a, b, l, m\). Schliesslich wird gezeigt, wie eine gerade Transformation in eine Reihe von 4 Inversionen zerlegt werden kann, bei welchen die beiden ersten Kugeln orthogonal sind zu den beiden letzten. Für die schiefe Transformationen genügen 3 Inversionen, wobei 2 Kugeln orthogonal zur dritten sind. Nach diesen Vorbereitungen wird im zweiten Teile die Bestimmung der teilungen des Raumes in congruente oder symmetrische Teile auf die Aufgabe zurückgeführt: alle discontinuirlichen Gruppen linearer orthogonaler Substitutionen mit 4 Variabeln und von endlicher Ordnung zu bestimmen. Diese Gruppen gehören der ersten oder zweiten Familie an und werden mit \(H\), bezw. \(K\) bezeichnet, jenachdem sie nur Substitution von der Form (A), oder gleichzeitig solche von den Formen (A) und (B) enthalten. Es werden nun zunächst aus 2 Gruppen \(G\) und \(G_{1}\) von der \(m^{\text{ten}}\), bezw. \(n^{\text{ten}}\) Ordnung durch Combination jeder Substitution der einen mit jeder der andern die Gruppen \(H\) (von der \(mn^{\text{ten}}\) Ordnung gebildet. Sodann werden im Anschluss an Klein’s “Vorlesungen über das Ikosaeder” die Haupteigenschaften der endlichen Gruppen linearer, nicht homogener Substitutionen mit einer Variable vorgeführt, mit specieller Unterscheidung der 5 Typen cyklischer, diedrischer, tetraedrischer, oktaedrischer und ikosaedrischer Gruppen. Die Combination je zweier von diesen Gruppen ergiebt 15 fälle, aus denen 32 Typen für die Gruppen \(H\) angeleitet werden. – Indem die Gruppen \(H\) nunmehr als Untergruppen der Gruppen \(K\) angesehen werden, entstehen die letzteren durch Combination bestimmter Gruppen \(H\) mit bestimmten Substitutionen von der Form (B). Durch Hinzufügung der Gruppen \(K\) steigt die Gesamtzahl auf 51. Auf dem Umstande, dass jeder dieser Gruppen eine isomorphe Gruppe mit reellen Coefficienyen entspricht, beruht nun der Zusammenhang dieser Gruppenbildung mit der Aufgabe der regulären endlichen Raumteilung.
Diese Aufgabe wird im dritten Teile dadurch gelöst, dass alle endlichen Gruppen \(K\) aufgesucht werden, welche aus Substitutionen von der Form (B) mit der Periode 2 abgeleitet sind. Man hat dann nur die Verteilung der diesen Substitutionen entsprechenden Inversionskugeln zu untersuchen. Auf diese Weise ermittelt der Verfasser alle diejenigen Teilungen, welche auf der Kugelfläche ihr Analogon haben. Auf die übrigen (in 96 und 240 Tetraeder) will der Verfasser in einer späteren arbeit zurückkommen.
Im vierten Teile wird gezeigt, wie die gefundenen Raumteilungen benutzt werden können, um die dreidimensionalen Projectionen der regelmässigen Körper des vierdimensionalen Raumes zu erhalten. (Man kann, wie Referent in einem Aufsatze in Hoppe’s Archiv (2) X. 154 gezeigt hat, auf dem entgegengesetzten Wege von den regelmässigen vierdimensionalen Köpern mit Leichtigkeit zu sämtlichen endlichen Raumteilungen gelangen.) Der weitere Schluss von den Projectionen auf die Gebilde selbst ist der nämliche, wie ihn Ref. in seiner “Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde ” angewandt hat. Die vom Verf. am Schluss der Arbeit kurz berührten Sternpolyeder des vierdimensionalen Raumes sind bereits von Hess (Ueber die regulären Polytope höherer Art, Marb. Ber. 1885) untersucht worden. – Im ganzen gebührt der Arbeit das Verdienst, der Theorie der regelmässigen vierdimensionalen Körper und der mit denselben zusammenhängenden Raumteilungen eine analytische Grundlage gegeben zu haben, welche diese Theorie zu den so fruchtbaren Untersuchungen auf dem Gebiete der Transformationen in engste Beziehung setzt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML