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Sur la rectification des cubiques planes unicursales. (French) JFM 21.0727.03

Die Untersuchung erstreckt sich auf die Curven vom Geschlecht 0, 1 und 2. Sie ergiebt aber schliesslich, dass nur Curven vom Geschlecht 0 rectificabel sein können. Das 1. Capitel enthält die allgemeine Discussion. Zum Ausdruck der Curven werden die cartesischen Coordinaten \(x, y\) als rationale Functionen eines Parameters \(t\) dargestellt in der Form \(A:C\), \(B:C\), wo \(A, B, C\) ganze Functionen \(m^{\text{ten}}\) Grades sind. Das Bogenelement hat die Form \(dt \sqrt{T} : C^2\), wo \(T\) vom Grade \(4m - 4\) ist, wenn er nicht im besondern Falle vermindert wird. Hierüber werden folgende Sätze aufgestellt. I. Ist ein Punkt im Endlichen Anfang eines Cyklus mit isotroper Tangente von der Ordnung \(n\) und der Klasse \(\nu\), so vermindert sich der Grad von \(T\) um \(n -1 + \left( \frac{\nu}{2} \;\text{resp.} \;\frac{\nu - 1}{2} \right)\). II. Ist die Tangente nicht isotrop, der Cyklus von der Ordnung \(n\), so vermindert sich das Geschlecht des Bogens um \(n - 1\). III. Dasselbe findet statt, wenn die Curve eine nicht isotrope asymptotische Richtung zulässt, in welcher dem unendlich fernen Punkte \(n\) gleich Werte von \(t\) entsprechen. IV. Ist einer der cyklischen Punkte Anfang eines Cyklus von der Klasse \(\nu\), und entsprechen diesem Punkte \(n\) gleiche Werte von \(t\), so vermindert sich das Geschlecht um \(n - 1 + \left( \frac{n \pm \nu}{2}\;\text{resp.}\;\frac{n \pm \nu - 1}{2} \right)\), jenachdem die den Cyklus berührende Asymptote in endlicher oder unendlicher Entfernung liegt. Es folgen Anwendungen auf kubische Curven. Im 2. Capitel werden die kubischen Curven bestimmt, welche einem Geschlecht \(> 3\) angehören, im 3. die, deren Bogen algebraisch ist, im 4. in endlichen Termen die rectificabeln.
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Full Text: DOI Numdam EuDML