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Sulle deformazioni infinitesime. (Italian) JFM 21.0748.02

Das Bogenelement \(ds\) eines Raumes von 3 Dimensionen sei durch die Gleichung: \[ (1) \quad ds^2 = \sum_{i,k}^{1,2,3} a_{ik} dx_{i} dx_{k} \quad (a_{ik} = a_{ki}) \] bestimmt. Erteilt man dann den Grössen \(x_1, x_2, x_3\) die unendlich kleinen Zuwachse: \[ (2) \quad \delta x_{i} = \xi_{i} (x_1, x_2, x_3) \delta t \quad (i = 1, 2, 3), \] so bekommt \(ds\) einen unendlich kleinen Zuwachs, der durch eine Gleichung von der Form: \[ (3) \quad \frac{\delta ds}{ds} = \delta t . \sum_{i, k}^{1, 2, 3} \lambda_{ik} dx_{i} dx_{k} \] bestimmt wird. Es sind also die \(\lambda_{ik}\) die Bestimmungsstücke der unendlich kleinen Deformation, die das Bogenelement bei der unendlich kleinen Transformation (2) erleidet.
Herr Padova erledigt nun die Frage: wie müssen die Functionen \(\lambda_{ik}\) beschaffen sein, damit es eine infinitesimale Transformation (2) giebt, die dem \(ds\) gerade den unendlich kleinen Zuwachs (3) erteilt? und welche Bedingungen müssen insbesondere erfüllt sein, damit die betreffende infinitesimale Transformation von sechs wesentlichen Parametern abhängt? Der letzte Fall tritt natürlich nur ein, wenn der Raum \(x_1, x_2, x_3\) entweder euklidisch oder nichteuklidisch ist.
Die Rechnungen des Herrn Padova sind übrigens so eingerichtet, dass sie auch sofort auf den Raum von \(n\) Dimensionen angewandt werden können.

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