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Équation générale des surfaces dont la ligne de striction satisfait à certaines conditions. (French) JFM 21.0767.03
Nouv. Ann. (3) VIII. 77-82 (1889).
1. Die Strictionslinie sei gegeben. Sind \(x_1, y_1, z_1\) die Coordinaten eines Curvenpunktes \(P\) als Functionen des Bogens \(s\) dieser Curve gegeben, und sind \(\lambda, \mu, \nu\) Functionen von \(s\), so dass \[ (1) \quad \lambda^{2} + \mu^{2} + \nu^{2} = 1, \] so ist durch die Gleichungen \[ (2) \quad x = x_1 + \lambda \mu \] und die analogen eine beliebige geradlinige Fläche bestimmt, welche durch jene Curve hindurch geht. Soll die Curve Strictionslinie sein, so muss sein \[ (3)\quad x' \lambda' + y' \mu' + z' \nu' = 0. \] Da nun der Winkel \(\alpha\), welchen die Erzeugende mit der Tangente der Curve in \(P\) bildet, bestimmt ist durch \[ (4) \quad \quad \cos \alpha = x' \lambda + y' \mu + z' \nu, \] so wird der Verteilungsparameter dieser Erzeugenden \(\tilde\omega\) gefunden durch die Gleichung \[ (5) \quad \frac{\sin^{2} \alpha}{\tilde\omega^{2}} = \lambda'^{2} + \mu'^{2} + \nu'^{2}. \] Sieht man \(\alpha\) als durch eine willkürliche Function gegeben an, so ist \[ (6) \quad \frac{d\cos \alpha}{ds} = x'' \lambda + y'' \mu + z'' \nu. \] Man kann alsdann aus den Gleichungen (1), (3), (6) \(\lambda, \mu\) und \(\nu\) berechnen, wodurch die Fläche bestimmt ist.
Diese Betrachtungen werden auf den Fall angewandt, in welchem die Strictionslinie eine Schraubenlinie ist.
2. Der zweite Teil der Arbeit betrifft die Flächen, deren Strictionslinie eben ist. Alsdann kann man \(x' = \cos w\), \(y' = \sin w\) setzen, und man erhält zur Bestimmung von \(\lambda, \mu, \nu\) die Gleichungen \[ \begin{aligned} & \lambda' \cos w + \mu' \sin w = 0,\\ & \lambda \cos w + \mu \sin w = \cos \alpha,\\ & \lambda^{2} + \mu^{2} + \nu^{2} = 1.\end{aligned} \] Durch Differentiation der zweiten Gleichung erhält man noch \[ -\lambda \sin w + \mu \cos w = - \sin \alpha\;\frac{d\alpha}{dw}\,, \] wodurch \(\lambda, \mu\) und \(\nu\) direct zu berechnen sind. Auch der Verteilungsparameter ist alsdann einfach zu berechnen.

Full Text: EuDML