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Étude géométrique sur la courbure des pseudosurfaces. (French) JFM 21.0819.02
Die erste der beiden oben genannten Arbeiten (siehe JFM 21.0819.01) verfolgt den Zweck, die bei der Behandlung der Congruenzen stattfindenden Vorteile für beliebige Flächen (und Raumcurven) nutzbar zu machen, wobei die Eigenschaften der letzteren aus denen der ersteren abgeleitet werden, und namentlich die Gauss’schen Differentialquotienten \(E, F, G\), welche die Rechnung mit überflüssigen Factoren belasten, wegfallen sollen. – Die allgemeine Theorie, welche der Verf. zur Erreichung dieses Zweckes aufstellt, kommt zunächst den Raumcurven an sich zugute, in zweiter Linie den Flächen, deren Eigenschaften durch solche Curven charakterisirt werden. Als weitere Anwendungen erscheinen dann einige Probleme über geometrische Oerter und eine neue Behandlungsweise der Brennpunkte und Focalebenen.
Die Grundzüge der neuen Theorie sind folgende. Nachdem ein Punkt \(M\) einer gegebenen Fläche durch zwei in ihm sich schneidende, auf der Fläche liegende Coordinaten-Curven \(S_1\) und \(S_2\) bestimmt worden ist, deren Uebergang in die unendlich nahen Curven \(S_1'\) und \(S_2'\) einen neuen Punkt der Fläche \(M'\) bestimmt, wird angenommen, dass inzwischen die Fläche um den Punkt \(M\) herum eine unendlich kleine gesetzmässige Deformation erlitten habe, und dass \(S_1'\) auf der ursprünglichen, \(S_2'\) auf der neuen Fläche liege. Die beiden Tangentialebenen in \(M\) werden dann von den letzteren beiden Curven bezw. in zwei verschiedenen Punkten \(\mu_1\) und \(\mu_2\), anstatt in einem Punkte \(M'\), geschnitten. Die Gerade \(\mu_1 \mu_2\) (“Pseudonormale”) steht auf der zweiten Tangentialebene senkrecht. Da aber die Punkte \(\mu_1\) und \(\mu_2\) nur um unendlich kleine Grössen zweiter Ordnung von der Tangentialebene entfernt sind, so können sie für die Rechnung als mit \(M'\) zusammenfallend angesehen werden. Sind ferner \(M M_1\), bezw. \(MM_2\) Bogenelemente der Curven \(S_1\) und \(S_2\), so kann nach letzterer Annahme die Summe der nicht angrenzenden Dreiecksflächen \(M M_1 \mu_2\) und \(MM_2 \mu_1\) (die als Elemente einer “Pseudofläche” aufgefasst werden) durch das Flächenelement \(MM_1 M' M_2\) ersetzt werden. Die mit den vorstehenden Gesichtspunkten zusammenhängende allgemeinere Auffassung der Congruenzen gestattet dann auch eine Anwendung nicht nur auf Regelflächen, sondern auf Flächen allgemeiner Art. – Es werden nunmehr neben den ersten Krümmungen der Coordinatencurven \(S_1\) und \(S_2\), nämlich \[ \frac{1}{r_1} = \frac{d \sigma_1}{ds_1}, \quad \frac{1}{r_2} = \frac{d\sigma_2}{ds_2}, \] als “correlative Krümmungen” die Ausdrücke eingeführt: \[ \frac{1}{\varrho_1} = \frac{d \varsigma_1}{ds_1}, \quad \frac{1}{\varrho_2} = \frac{d\varsigma_2}{ds_2}, \] bei denen die Bogen \(s_1\) und \(s_2\) den ursprünglichen Curven \(S_1\) und \(S_2\) entnommen sind, während der Contingenzwinkel \(d\varsigma_1\) von den an die Curven \(S_2\) und \(S_2'\) in den unendlich nahen Punkten \(M\) und \(M_1\) gezogenen Tangenten gebildet wird und Entsprechendes von \(d \varsigma_2\) gilt. (Es ist nämlich \(M_1\) der Schnittpunkt von \(S_1\) und \(S_2'\), \(M_2\) derjenige von \(S_2\) und \(S_1'\)). In den Formeln selbst werden nachher statt der Krümmungen selbst ihre horizontalen und verticalen Projectionen benutzt. Es folgen nun Transformationsformeln zwischen den Coordinaten eines zugrunde gelegten rechtwinkligen Systems, eines zweiten, dessen Axen die Flächennormale \(MN\) und die in demselben Punkte (\(M\)) an die Curven \(S_1\) und \(S_2\) gelegten Tangenten sind, und endlich desjenigen, welches die Curven \(S_1\) und \(S_2\) auf der Fläche selbst bilden. Namentlich werden an den Formeln der ersten Kategorien die partiellen und totalen Ableitungen nach den Variabeln \(s_1\) und \(s_2\), nach ihren orthogonalen Trajectorien und nach der Verticale \(MN\) vorgenommen.
Die so erhaltenen Formeln werden nun zur Untersuchung der Krümmungen einer durch \(M\) gehenden Curve \(S\) benutzt, wobei \(MT\) die Tangente an \(S\), \(MH\) diejenige an die orthogonale Trajectorie von \(S\), und \(MN\), wie oben, die Flächennormale bedeutet. Gehen nun durch gleichzeitige Variation \(MT\), \(MH\), \(MN\) resp. in \(M'T'\), \(M'H'\), \(M'N'\) über, und sind \(d \sigma\), \(dv\), \(d \varepsilon\) die entsprechenden Contingenzwinkel, so definirt der Verfasser die Ausdrücke \[ \frac{1}{r} = \frac{d\sigma}{ds}, \quad \frac{1}{u} = \frac{dv}{ds}, \quad \frac{1}{v} = \frac{d\varepsilon}{ds} \] resp. als “gegebene (12), horizontale (13) und verticale (23) Deviation” von \(S\). Dieselben gelten zusammen als “erste Krümmungen” und erweisen sich resp. als Resultanten der paarweise auf die drei senkrechten Coordinatenebenen: 1. Niveauebene, 2. Profilebene, 3. Frontalebene, projicirten ersten Krümmung \(\frac{1}{r}\). In analoger Weise werden die zweiten Krümmungen als “Frontalflexion (Torsion), Profilflexion und Niveauflexion” unterschieden, und ebenso, jedoch mehr andeutend, die dritten Krümmungen behandelt. Indem nun der Reihe nach die drei Projectionen der ersten Krümmung gleich Null gesetzt werden, ergeben sich die geodätischen, asymptotischen und Krümmungslinien, die erst für sich allein, sodann im Zusammenhange mit der zugehörigen Fläche betrachtet werden. Als weitere Anwendungen folgen Probleme über Strictionslinien und Aehnliches, wobei namentlich die Bedeutung der Pseudo-Normalen hervortritt und auch verwandte Untersuchungen von Hrn. Kummer gestreift werden. Zuletzt werden unter der Annahme, dass zwei der Coordinatenebenen Focalebenen eines gegebenen Systems sind, verschiedene Formeln von Euler, Bertrand, Hamilton, Kummer, zum Teil in erweiterter Gestalt, abgeleitet.
In der zweiten Abhandlung wird zuerst die Beziehung der Pseudoflächen zu gewöhnlichen Flächen durch die Bemerkung präcisirt, dass jede Fläche als gemeinsame Grenze zweier unendlich nahen Reihen von Pseudoflächen betrachtet werden kann. Ausserdem kann die Untersuchung einer Pseudofläche in einem ihrer Punkte \(M\) an zwei osculirende Hülfsflächen \(F_{\mu}\) und \(F_{\nu}\) geknüpft werden, welche dem arithmetischen, resp. geometrischen Mittel der correlativen Krümmungen der Coordinatenlinien entsprechen, und von denen die erste mit den Hauptebenen, die zweite mit den Focalebenen der Pseudofläche zusammenhängt. Da nun die Indicatrix der Fläche \(F_{\mu}\) gleichzeitig diejenige der entsprechenden Pseudoflächen ist, so genügt es, die weitere Untersuchung an die Fläche \(F_{\mu}\) zu knüpfen. — Nach dieser Einleitung vergleicht der Verf. die verschiedenen Ausdrücke für das Krümmungsmass einer Fläche und findet, dass nur der von Bourget und Housel gegebene Ausdruck \[ \frac{1}{R_1^2} + \frac{2}{3R_1 R_2} + \frac{1}{R_2^2} \] zur Anwendung auf die Pseudoflächen geeignet ist. Dieser Ausdruck stellt bis auf einen constanten Factor die Fläche einer geschlossenen Curve (“ebenen Krümmungs-Indicatrix”) dar: \[ {\mathfrak{r}} = \frac{\cos^2 \psi}{R_{1}^{\prime\prime}} + \frac{\sin^2 \psi}{R_{2}^{\prime\prime}}, \] welche je nach dem Verhalten der Grössen \(R\) drei charakteristische Formen annimmt. Diese ebene Fläche, deren genaue Berechnung undurchführbare Integrationen erfordert, kann, wie der Verf. zeigt, durch eine “hemicyklidische Fläche” (deren durch die Normale \(ON\) geführte Schnitte Halbkreise sind) von genau gleichem Inhalt ersetzt werden. Die über diese Fläche und den ihr umbeschriebenen Cylinder ermittelten Sätze erscheinen nebenbei als Verallgemeinerungen der Archimedischen Sätze über die Kugel und den umbeschriebenen Cylinder. An die Stelle des Flächeninhalts der ebenen Indicatrix tritt nun das von der hemicyklidischen Fläche begrenzte Volumen, welches durch Integration ermittelt werden kann, oder, wenn man will, das Volumen des jener Fläche umbeschriebenen Cylinders. Es folgen dann noch einige Eigenschaften des der elliptischen Indicatrix entsprechenden Volumens. Zum Schluss wird die Construction der Krümmungsindicatrix statt mit \({\mathfrak{r}}''\) mit dem reciproken Werte \(r''\) vorgenommen, und die Gleichung des durch Inversion einer Hemicyklide entstehenden Konoids aufgesucht.

Subjects:
Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 4. Liniengeometrie (Complexe, Strahlensysteme).
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