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Ueber die rationalen Flächen vierter Ordnung. (German) JFM 21.0827.02
Der erste Aufsatz (siehe JFM 21.0827.01) giebt die weitere Ausführung einer Note des Verfassers aus dem Jahre 1878. Zu den beiden bis dahin bekannten Fällen, wo eine Doppelebene rational-eindeutig auf die einfache Ebene abgebildet werden kann (nämlich mit Uebergangscurve einer Ordnung \(2m\), die einen \((2m - 2)\)-fachen Punkt besitzt, sowie mit Uebergangscurve vierter Ordnung), hatte Herr Noether damals einen dritten und letzten hinzugefügt, mit einer Uebergangscurve sechster Ordnung, welche zwei unendlich benachbarte dreifache Punkte besitzt.
Es bildete der letzterwähnte Fall den algebraischen Ausgangspunkt für des Verfassers Theorie der \(\varTheta\)-Charakteristikengruppirungen bei \(p = 4\).
Bedeutet \(\varOmega (x) \equiv \varOmega = 0\) die Uebergangscurve sechster Ordnung, so geschieht die Abbildung mittels Formeln von der Gestalt \[ y_1 : y_2 : y_3 = \chi_1 (x) + A_1 (x) \sqrt{\varOmega} : \chi_2 (x) + A_2 (x) \sqrt{\varOmega} : C (x), \] wo die \(\chi\), \(A\) und \(C\) gewisse ganze Functionen der \(x\) darstellen.
Es handelt sich um die Umkehrung dieser Formeln.
Den beide Blätter durchsetzenden Geraden der \(x\)-Ebene entspricht dabei eine lineare \(\infty^2\)-Schar von Curven sechster Ordnung \((p = 2)\) mit acht Doppelpunkten und zwei festen einfachen Punkten, von denen der letzte durch die neun ersteren bereits eindeutig mitbestimmt ist.
Die so charakterisirte Abbildung giebt mit Leichtigkeit die ganze Theorie der die Curve \(\varOmega\) überall in erster Ordnung berührenden Curven.
Von den Lagen-Eigenschaften der letzteren ist ein Teil durch die specielle Natur der “kanonischen” Curve \(\varOmega\) bedingt, während der andere Teil bei beliebigen Cremona-Transformationen erhalten bleibt.
Von den erhaltenen Ergebnissen wird eine unmittelbare Anwendung in der zweitgenannten Arbeit gemacht auf die Bestimmung aller rationalen Flächen vierter Ordnung.
Unter den auf eine Ebene ein-eindeutig abbildbaren Flächen vierter Ordnung waren bisher, abgesehen von solchen mit vielfachen Curven, nur die mit einem dreifachen Knotenpunkte und die mit einem Selbstberührungspunkte bekannt.
Der Verfasser zeigt, dass ausser diesen noch zwei (und nur zwei) weitere Typen existiren. Jedenfalls muss nämlich eine weitere Fläche F der gemeinten Art einen Doppelpunkt P besitzen. Projicirt man nun F von P aus auf eine \(x\)-Ebene, so wird diese doppelt überdeckt, und die beiden Blätter hängen längs einer Uebergangscurve sechster Ordnung \(\varOmega\) \((p= 2)\) zusammen. Bei der Abbildung von \(F\) auf die einfache Ebene entspricht den ebenen Schnitten von \(F\) durch \(P\), d. i. den Geraden der \(x\)-Ebene, eine lineare \(\infty^2\)-Schar von Curven vom Geschlecht 2, die sich in je zwei beweglichen Punkten schneiden. Solche Scharen lassen sich aber schliesslich auf zwei Arten reduciren, erstens von Curven vierter Ordnung mit einem festen Doppelpunkte und zehn festen einfachen Punkten, zweitens von Curven sechster Ordnung mit acht festen Doppelpunkten und zwei festen einfachen Punkten.
Die erste Schar führt auf eine Doppelebene mit Uebergangscurve \(\varOmega\) von der sechsten Ordnung mit einem vierfachen Punkte, die zweite, wie oben geschildert, auf eine Doppelebene mit Uebergangscurve \(\varOmega\) von der sechsten Ordnung, welche zwei unendlich benachbarte dreifache Punkte besitzt.
Die letzteren beiden Abbildungen führen gerade auf die zwei neuen Typen von rationalen Flächen vierter Ordnung. Der erstere derselben gestattet übrigens noch eine zweite Methode der Abbildung, da sich auf ihm unmittelbar ein Büschel von rationalen Curven angeben lässt.
Beide Typen lassen sich mittels Flächenbüschel zweiter Ordnung erzeugen.

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