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Sur le développement en série du potentiel des sphéroïdes de révolution. (French) JFM 21.0985.01

J. de l’Éc. Pol. Cah. LVIII. 127-154 (1889).
Ueber die vorliegende Arbeit ist bereits im Jahre 1886 nach einem in den C. R. erschienenen Auszuge berichtet (cf. F. d. M. XVIII. 923, JFM 18.0923.01). Hier werden die in jenem Auszuge angedeuteten Entwickelungen vollständig durchgeführt, insbesondere auch die ziemlich umständlichen Rechnungen, durch die sich ergiebt, unter welchen Bedingungen die für äussere und innere Punkte geltenden Reihen an der Oberfläche des Sphäroids in einander übergehen. Sodann wir an dem in dem früheren Referate erwähnten Beispiel des Sphäroids \[ r = a \left( \frac{1 + k}{1 + k \cos^{2} \vartheta} \right)^{\tfrac 12} \] gezeigt, wie man durch passende Wahl des Parameters \(\alpha\) (als Gleichung des Sphäroids ist im allgemeinen die Gleichung \(r = a[1 + \alpha f(\vartheta)]\) angenommen) die Grenzen für die Gültigkeit der in Rede stehenden Reihen erweitern kann. In dem obigen Beispiel erhält man auf diese Weise als äussersten Wert, bei dem noch absolute Convergenz der benutzten Doppelreihen statthat, \(k = \)0,58 statt des früheren Wertes \(k = \)0,414. Für die Sphäroide \[ \frac{r^2}{a^2} = \tfrac{1}{2} \left( \frac{1 + k}{1 + k \cos^{2} \vartheta} + \frac{1 + k'}{1 + k' \cos^{2} \vartheta} \right) \] und \[ \frac{r^2}{a^2} = \left( \frac{1 + k}{1 + k \cos^{2} \vartheta} \right) \left( \frac{1 + k'}{1 + k' \cos^{2} \vartheta}\right), \] wo \(k\) und \(k'\) positive Zahlen sind, \(k' < k\), convergirt die Reihe für das Potential innerer Punkte, falls \(k< \)0,41, die auf äussere Punkte bezügliche Reihe, falls \(k < \)0,28.
Zum Schluss betrachtet der Verf. das Sphäroid \[ \frac{1}{r^2} = C_{0} (1 - k\mu^{2})(1 - k' \mu^{2}) \dots = C_{0} f(\mu^{2}), \quad \mu = \cos \vartheta, \] und untersucht für dieses die Grenze, der sich das Verhältnis zweier auf einander folgenden Glieder in der Reihe für das Potential äusserer Punkte mit wachsender Ordnungszahl der Glieder nähert. Dazu wird das Integral \[ J = \int_{-1}^{+1} [f(\mu^{2})]^{-\frac{2n + 3}{2}} X_{2n} d\mu, \] in dem \(X_{2n}\) die einfache Kugelfunction mit dem Argumente \(\mu, n\) eine sehr grosse Zahl ist, zunächst mit Hülfe der Gamma-Functionen in ein vielfaches Integral verwandelt und der Wert des letzteren nach Einführung von neuen Variabeln durch eine von Laplace [Théorie des probabilités Nr. 28] herrührende Methode ermittelt.

Citations:

JFM 18.0923.01