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Nouvelle méthode de discussion de l’équation en \(S\). (French) JFM 22.0112.02
Nouv. Ann. (3) IX. 367-372 (1890).
Die “Gleichung in \(S\)” \[ \varDelta(S)=\left|\begin{matrix} A-S & B'' & B'\\ B'' & A'-S & B\\ B' & B & A''-S \end{matrix}\right|=0 \] kann als notwendige und hinreichende Bedingung dafür angeschen werden, dass der Ausdruck \[ \varphi-S\sigma, \] wo \(\varphi=Ax^2+A'y^2+A''z^2+2Byz+2B'zx+2B''xy\) mit reellen Coefficienten und \[ \sigma=x^2+y^2+z^2 \] ist, sich auf eine Summe von weniger als drei Quadraten reducirt. Daraus lassen sich in einfachster Weise die Eigenschaften der “Gleichung in \(S\)” entwickeln, deren wichtigste hier angegeben werden mögen:
1) Die Gleichung in \(S\) hat reelle Wurzeln.
2) Der Ausdruck \(\varphi-S\sigma\) reducirt sich auf eine Summe von zwei Quadraten, oder auf ein Quadrat, oder ist identisch Null, je nachdem \(S\) einfache, zweifache oder dreifache Wurzel der Gleichung in \(S\) ist, und umgekehrt.
3) Eine einfache Wurzel der Gleichung in \(S\) annullirt nicht alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung der Determinante \(\varDelta(S)\), eine zweifache Wurzel alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung, aber nicht alle erster Ordnung, eine dreifache Wurzel auch alle Unterdeterminanten erster Ordnung, und umgekehrt.
4) Die kleinste Wurzel der Gleichung in \(S\) liefert eine Zerlegung des Ausdruckes \(\varphi-S\sigma\) in zwei positive, die grösste Wurzel in zwei negative Quadrate, die mittlere Wurzel allein zerlegt diesen Ausdruck in ein Product zweier verschiedenen reellen Factoren.
Full Text: EuDML