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Sur les opérations dans la théorie des formes algébriques. (French) JFM 22.0137.01

Der Verfasser vereinigt hier zu einem Ganzen eine Reihe früherer Untersuchungen (F. d. M. XV. 1883. 105, JFM 15.0105.01; XVIII. 1886. 92, JFM 18.0092.01; XIX. 1887. 107, JFM 19.0107.01, 108, JFM 19.0108.01, 151, JFM 19.0151.01; XX. 1888. 92, JFM 20.0092.01; JFM 20.0092.02, 93, JFM 20.0093.01), welche zum Ziele hatten, den Polarenprocess in den Mittelpunkt der ganzen Formentheorie zu stellen, sodass nicht nur alle übrigen invarianten Differentiations-Processe durch explicite Formeln mittels des Polarenprocesses ausdrückbar werden, sondern dass auch die grundlegende Aufgabe der “Reihenentwickelung” von Formen mit mehreren Variabelnreihen als ein unmittelbarer Ausfluss aus Relationen zwischen Polarenprocessen erscheint.
Unter dem Polarenprocesse \(D_{pq}\) wird die Summe \(\sum q_i\frac {\partial}{\partial p_i}\) verstanden, wo die \(q\), \(p\) zwei cogrediente Reihen von gleich viel Variabeln bedeuten. Hat man mehrere solche Variabelnreihen und übt auf eine Form derselben derartige Processe in irgend welcher Reihenfolge aus, so erhält man den allgemeinsten Begriff der “Polare” der Form: eine solche Polare genügt einer Reihe von Differentialgleichungen, die nichts anderes sind, als Relationen zwischen Polarenprocessen selbst. Alle diese Relationen kommen aber auf nur 7 zurück, die selbst in drei verschiedene Typen zerfallen: \[ \begin{aligned} I.\quad & D_{sq}D_{pt}-D_{pt}D_{sq}=D_{sq}D_{st}-D_{st}D_{sq}=D_{sq}D_{pq}-D_{pq}D_{sq}=0,\\ II.\quad & D_{tq}D_{pt}-D_{pt}D_{tq}=D_{pq}D_{pp}-D_{pp}D_{pq}=D_{qq}D_{pq}-D_{pq}D_{qq}=D_{pq},\\ III.\quad & D_{qp}D_{pq}-D_{pq}D_{qp}=D_{pp}-D_{qq}.\end{aligned} \] Aus \(n\) Reihen von \(\nu\) Variabeln lassen sich offenbar \(N=n^2\) solcher “elementaren” Processe \(D\) bilden: man bezeichne sie in irgend einer Reihenfolge mit \(D_1, D_2,\dots,D_N\). Betrachtet man für den Augenblick die \(D\) als beliebige Grössen derart, dass das Product zweier “\(DD'\)” den durch die Aufeinanderfolge der Processe \(D\), \(D'\) entstehenden Process bedeutet, so kann man sich eine beliebige ganze Function \(F\) sämtlicher \(D\) gebildet denken, die natürlich in ihrer Bedeutung auch von der Reihenfolge der \(D\) in jedem Gliede bedingt ist.
Dann lässt sich \(F\) stets in die Gestalt bringen: \[ F=\sum CD^{\alpha_1}_1D^{\alpha_2}_2\dots D^{\alpha_N}_N, \] wo die \(C\) numerische Factoren, die \(\alpha\) ganzzahlige (symbolische) Exponenten \(\geqq0\) bedeuten, also die \(D\) in jedem Gliede die einmal gewählte Reihenfolge beibehalten.
Es geht das aus dem einfacheren Satze hervor, wonach die Differenz zweier Producte, die aus denselben \(\lambda\) Factoren \(D\), aber in verschiedener Reihenfolge gebildet sind, eine lineare Function von Producten aus je nur \(\lambda-1\) Factoren \(D\) ist.
Die \(D\)-Processe sollen nur vor allem dazu dienen, eine beliebige Form der \(\nu\) Variabelnreihen aus einem einzigen Producte durch wiederholte Differentiation herzuleiten. Dies gelingt in der That. Denn sei \(f\) eine solche ganze, homogene Function: \[ f=\sum cx^{\lambda_1}_1x^{\lambda_2}_2\dots x^{\lambda_{\nu}}_{\nu}\cdot y^{\mu_1}_1y^{\mu_2}_2\cdots y^{\mu_{\nu}}_{\nu} \cdots v^{\varrho_1}_1v^{\varrho_2}_2\dots v^{\varrho_{\nu}}_{\nu} \quad (\nu\overset {=} < n), \] die ausserdem noch in Bezug auf jeden Index \(i\) “isobar” angenommen wird, sodass also für jedes Glied die Summe \(\lambda_i+\mu_i+\cdots+\varrho_i\) einen constanten Wert \(\beta_i\) besitzt, so geht \(f\) aus dem einen Gliede \(x^{\alpha_1}_1y^{\alpha_2}_2\dots u^{\alpha_p}_p\) vermöge einer zusammengesetzten Polarenoperation hervor, welche sich auf alle Variabelnreihen \((x), (y), \dots, (u), \dots, (v)\) bezieht.
Indem wir weitere Sätze der Art übergehen, erwähnen wir ein weiteres Untersuchungsmittel. Es handelt sich darum, über die zwischen zusammengesetzten Polarenprocessen herrschenden linearen Relationen (mit numerischen Coefficienten) eine Uebersicht zu gewinnen. In diesem Betracht sei der Satz angeführt, dass zwischen irgend welchen Potenzproducten \(D^{\alpha_1}_1D^{\alpha_2}_2\dots D^{\alpha_r}_r\) (wo die \(D\) immer in derselben Folge zu nehmen sind) keine lineare Relation bestehen kann. Auch die verschiedenen Potenzen einer und derselben Operation \(D\) sind linear unabhängig.
Behufs Anwendung auf Fragen der Formentheorie bedarf es noch der Kenntnis des zwischen dem (Cayley’schen) \(\varOmega\)-Process und den Polarenprocessen. Der Process \(\varOmega\) schreibt sich symbolisch als Determinante \(\sum\pm\frac {\partial}{\partial x_1}\frac {\partial}{\partial y_2}\cdots \frac {\partial}{\partial v_{nu}}\), wo also nachträglich in jedem Gliede die Folge der \(n\) Zeichen \(\partial\) durch das eine Zeichen \(\partial^n\) der \(n\)-maligen Differentiation zu ersetzen ist. Bezeichnet man das Product \(\bigtriangleup\varOmega\) von \(\varOmega\) mit der Determinante \(\bigtriangleup\) der Variabeln durvh \(H\), so kommt successive: \[ H_{xy}=\left|\begin{matrix} D_{xx} & D_{xy}\\ D_{yx} & D_{yy} \end{matrix}\right|, \quad\quad H_{xyz}=\left|\begin{matrix} D_{xx} & D_{xy} & D_{xz} \\ D_{yx} & 1+D_{yy} & D_{yz} \\ D_{zy} & D_{zy} & 2+D_{zz} \end{matrix}\right| \quad \text{etc.} \] Diese Operation \(H\) hat die ausgezeichnete Eigenschaft, mit allen Polarenprocessen, die mit den \(\nu\) Variabelnreihen vorgenommen werden können, vertauschbar zu sein.
Eine wichtige Anwendung davon prägt sich aus in der Eigenschaft einer ganzen homogenen Function der \((x),(y),\dots, (u), (v)\), welche den \(n-1\) Differentialgleichungen genügt: \[ D_{xy}=0, \quad D_{yz}=0, \quad \dots, \quad D_{uv}=0, \] das Product zu sein aus einer Potenz der Determinante \(\bigtriangleup\) mit einer anderen ganzen Function \(F'\), welche den nämlichen Differentialgleichungen genügt.
Mit den bisher erwähnten Hülfsmitteln gelingt es, ein leicht zu handhabendes Kriterium dafür aufzustellen, ob eine vorgegebene ganze Function von \(n\) Variabelnreihen eine “uneigentliche” ist oder eine “eigentliche”, d. i. ob sie sich durch Polaroperationen aus Functionen von \(n-1\) (oder weniger) Reihen von Variabeln ableiten oder nicht. Beispielsweise ist eine ganze Function von \(n\) Reihen von \(n\) Variabeln, welche die Determinante der letzteren zum wirklichen Factor besitzt, eine eigentliche.
Hierauf gestützt, wendet sich der Verfasser zum Beweise des Hauptsatzes über Reihenentwickelung (F. d. M. XIV. 1882. 86, JFM 14.0086.01). Der grundlegende Gedanke ist, eine ganze Function \(F\) von \(n\) Reihen von \(n\) Variabeln in zwei Teile zu zerlegen, von denen der eine durch die Determinante \(\bigtriangleup\) der Variabeln teilbar ist während der andere durch Polarenprocesse aus Functionen ableitbar ist, welche eine Variabelnreihe weniger enthalten.
Durch Wiederholung dieses Processes wird \(F\) nach Potenzen von \(\bigtriangleup\) entwickelt mit Coefficienten, welche uneigentliche Functionen der gegebenen Variabeln sind.

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