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Ueber die Hesse’sche Covariante einer ganzen rationalen Function von ternären Formen. (German) JFM 22.0152.02
Math. Ann. XXXVI, 97-120 (1890); Auch Diss. Tübingen. Leipzig. B. G. Teubner. 26 S. \(8^\circ\) (1890).
Die Untersuchung einiger Fälle von Singularitäten einer ebenen Curve, in denen sich die Hesse’sche Curve durch ein anomales Verhalten auszeichnet, führte den Verf., auf Anregung von Hrn. Brill hin, auf folgende algebraische Aufgabe. Sei eine ternäre Form \(F\) als Product von anderen Formen gegeben, oder allgemeiner als ganze Function von anderen ternären Formen \(f_0,f_1,f_2,\dots,\) so soll die Hesse’sche Form \(H\) von \(F\), eine Simultancovariante der \(f\), in Function der im vollständigen Formensystem der \(f\) enthaltenen In- und Covarianten dargestellt werden.
Der Verf. beschäftigt sich zuvörderst mit dem einfachen Falle, wo \(F\) eine mehrfach-lineare Function der \(f\) ist, und wo jedes der \(f\) immer nur je in einem einzgen Gliede \(F_i\) auftreten soll. Man hat dann in \(H(F)\) erstens die Symbole der \(F\) und zweitens an Stelle dieser die Symbole der \(f\) einzuführen. Die Ausführung zeigt, dass sich der Ausdruck von \(H\) zurückführen lässt auf solche simultanen Covarianten der \(f\), welche nur zwei Klammerfactoren enthalten; die reale Endformel ist freilich, wie nicht anders zu erwarten, complicirt.
Nunmehr darf auch die Erweiterung zugelassen werden, dass in den Gliedern \(F_i\) mehrere gleiche Factoren \(f\) vorkommen, sowie dass diese Glieder \(F_i,F_k,\dots\) einzelne Factoren \(f\) unter sich gemein haben. Es werden dann vorerst alle Factoren sämtlicher \(F\) mit verschiedenen Indices bezeichnet und die letzteren erst nach Anwendung der Zwischenformeln teilweise einander gleich gesetzt.
Eine specielle Untersuchung ist erforderlich, falls unter den Formen \(f\) lineare vorkommen. Diese werden innerhalb der einzelnen Glieder \(F_i\) in geeigneter Weise zu nicht-linearen Formen zusammengefasst, sodass einer unmittelbaren Anwendung der früheren Formeln nichts im Wege steht; es erübrigt dann noch, an Stelle der Symbole jener nicht-linearen Hülfsformen die Symbole der linearen Formen einzuführen, wozu ein erheblicher Formelapparat in Thätigkeit gesetzt werden muss.
Der Verf. vereinigt die von ihm verwendeten invarianten Gebilde nebst ihrer geometrischen Bedeutung, bespricht das Vorkommen einzelner unter denselben in der bisherigen Litteratur und geht zuletzt zu der anfangs erwähnten Anwendung über. Es ergeben sich Ergänzungen von Sätzen, welche früher von Brill (F. d. M. X. 1878. 459, JFM 10.0459.03) aufgestellt waren. Beispielsweise berührt die Hesse’sche Curve in einen Undulationspunkt der gegebenen Curve die Undulationstangente. Es sind hauptsächlich Symmetriegründe, welche in letzter Linie zur Erklärung des abweichenden Verhaltens der Hesse’schen Curve herbeigezogen werden müssen.

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