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Démonstration et application d’un théorème de Liouville sur l’élimination. (French) JFM 22.0173.02
Nouv. Ann. (3) IX. 258-288 (1890).
“Eliminirt man aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten vom \(m^{\text{ten}}\) resp. \(n^{\text{ten}}\) Grade die eine der beiden Unbekannten, so ist in der Resultante vom \(m.n^{\text{ten}}\) Grade der Coefficient der Glieder vom \((m . n-i)^{\text{ten}}\) Grade nur abhängig von den Coefficienten der Glieder \(m^{\text{ten}}\) bis \((m-i)^{\text{ten}}\) Grades in der ersten Gleichung und denen der Glieder \(n^{\text{ten}}\) bis \((n-i)^{\text{ten}}\) Grades in der zweiten Gleichung.” Dieser von Liouville stammende Satz wird auf einfache Art bewiesen und sodann benutzt, um fast ohne Rechnung eine Reihe interessanter, allerdings zum Teil schon bekannter geometrischer Sätze herzuleiten, von denen wir nur zwei anführen wollen:
1) (Von Chasles zuerst ausgesprochen): “Legt man an eine ebene, algebraische Curve alle Tangenten, die einer bestimmten Richtung parallel sind, so ist das Centrum der mitteleren Entfernungen der Berührungspunkte ein fester, von der gewählten Richtung unabhängiger Punkt.”
2) (Von Humbert herrührend): “Wenn eine ebene algebraische Curve beliebigen Grades keinen parabolischen Zweig besitzt, so ist der geometrische Ort für einen Punkt derselben Ebene, welcher die Eigenschaft hat, dass die Summe der Quadrate der von ihm an die Curve gezogenen Normalen constant ist, ein Kegelschnitt.”
Der Liouville’sche Satz lässt sich ohne weiteres auf ein System von beliebig vielen algebraischen Gleichungen mit der gleichen Anzahl von Variabeln ausdehnen, und liefert somit die Möglichkeit, auch die analogen Sätze für Flächen zu erschliessen.

Full Text: EuDML