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New remarks on various articles on the theory of series. (Nouvelles remarques sur divers articles concernant la théorie des séries.) (French) JFM 22.0247.02
Nouv. Ann. (3) IX. 353-367 (1890).
Für die convergente Reihe \[ q_{1}+q_{1}^{2}+q_{2}^{3}+q_{1}^{4}+q_{2}^{5}+q_{3}^{6}+q_{1}^{7}+\cdots, \quad q_{n}=q^{1+\frac{4}{n}}, \quad 0<q<1 \] wird die Grenze von \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=0\), wenn \(n\) eine dreieckige Zahl ist, während sie für andere Werte von \(n\) ersten Glieder der Reihe \[ \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\cdots; \] ist diese divergent, so ist auch \[ \frac{1}{a_{1}\sigma_{1}}+\frac{1}{a_{2}\sigma_{2}}+\frac{1}{a_{3}\sigma_{3}}+\cdots \] divergent; es sei \(\tau_{n}\) die Summe ihrer \(n\) ersten Glieder, dann wächst \(\tau_{n}\) ohne Grenze wie \(\log\sigma_{n}\). Ferner ist die Reihe \[ \frac{1}{a_{1}\sigma_{1}}-\log\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}+\frac{1}{a_{2}\sigma_{2}}-\log\frac{\sigma_{3}}{\sigma_{2}}+\frac{1}{a_{3}\sigma_{3}}-\cdots \] convergent und hat die Summe \[ C=\lim(\tau_{n}-\log\sigma_{n}); \] für \(a_{n}=1\) ist \(C\) die Euler’sche Constante.
Ersetzt man in der für das Kummer’sche Convergenzkriterium massgebenden Function \(a_{n}\) durch \(a_{n}\sigma_{n}\) und untersucht der Reihe nach die Ausdrücke \[ A_{n}=\left ( a_{n}\;\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-a_{n+1} \right ) \sigma_{n}; \quad A_{n}'=(A_{n}-1)\log\sigma_{n},\dots, \]
\[ A_{n}^{\prime\prime}=(A_{n}'-1)\log\log\sigma_{n},\dots, \] so ist die Reihe \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots\) convergent oder divergent, je nachdem einer dieser Ausdrücke eine Grenze hat, die \(>1\) oder \(<1\) ist. Ist die Convergenz der Reihe \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots\) durch \(\lim A_{n}=\lambda(\lambda>1)\) nachgewiesen, so ist \(\lim a_{n} u_{n}=0\), und das Product aus \(a_{n}u_{n}\) und jeder Potenz von \(\sigma_{n}\), deren Exponent \(<\lambda\) ist, hat \(\lambda\) zur Grenze.
Ausserdem beschäftigt sich der Verfasser noch mit einer Function \(G(1+x)\), die eine Verallgemeinerung der Weierstrass’schen Function \(\varGamma\) darstellt, und mit der Grenze der Ausdrücke \((a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}):n\), \([\lambda(1)+\lambda(2)+cdots+\lambda(n)]:n\), wo \(\lambda(n)\) die Liouville’sche Fiuction bezeichnet, die gleich \(+1\) oder \(-1\) ist, je nachdem \(n\) aus einer geraden oder ungeraden Zahl von Primfactoren zusammengesetzt ist.

MSC:
40A05 Convergence and divergence of series and sequences