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On multiplication of series. (Sur la multiplication des séries.) (French) JFM 22.0248.01

Mit Hülfe des Satzes: “Wenn \(a_{n}\) und \(b_{n}\) für \(n=\infty\) gegen \(a\) und \(b\) convergiren, so ist: \[ \lim\;\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}=ab\text{,''} \] wird der schon von Abel bewiesene Satz begründet: Wenn die Reihen \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots\), \(v_{1}+v_{2}+v_{3}+\cdots\) convergiren, so ist, wenn \(w_{n}=u_{1}v_{n}+u_{2}v_{n-1}+\cdots+u_{n}v_{1}\) gesetzt wird, \(w_{1}+w_{2}+w_{3}+\cdots=(u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots)(v_{1}+v_{2}+v_{3}+\cdots)\).
Mit Hülfe des Satzes: “Wenn für \(n=\infty\) \[ \lim\frac{a_{n}}{r^{n-1}}=a, \quad \lim\frac{b_{n}}{r^{n-1}}=b \] ist, so ist \[ \lim\;\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n^{r+s-1}}=\frac{\varGamma(r)\varGamma(s)}{\varGamma(r+s)}\;ab\text{'',} \] erweitert der Verfasser den Abel’schen Satz auf diejenigen Fälle, in denen die drei Reihen mittlere Werte \(U\), \(V\), \(W\) besitzen, d. h. wenn \[ \lim\;\frac{U_{1}+U_{2}+\cdots+U_{n}}{n}=U, \quad \lim\;\frac{V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{n}}{n}=V, \]
\[ \lim\;\frac{W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{n}}{n}=W \] ist, wo \[ U_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n},\quad V_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n},\quad W_{n}=w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n} \] gesetzt ist, dann ist gleichfalls \(W=UV\).
Der Verfasser nennt auch dann, wenn \(U_{n}\), ohne sich einer Grenze zu nähern, einen mittleren Wert \(U\) besitzt, die Reihe \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots\) “einfach unbestimmt” und \(U\) ihre Summe. Ist dies nicht der Fall, so setzt er: \[ C_{r+n-1,n-1}U_{n}^{r}=u_{n}+C_{r+1,1}u_{n-1}+C_{r+2,2}u_{n-2}+\cdots+C_{r+n-1,n-1}u_{1} \] und nennt dann, wenn \(U_{n}^{r}\) die erste der Functionen \(U_{n}\), \(U_{n}^{1}\), \(U_{n}^{2}\), \(\dots\) ist, welche eine Grenze \(U\) besitzt, die Reihe \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots\) “\(r\)-fach unbestimmt” und \(U\) ihre Summe. Dann gilt der Satz: Multiplicirt man eine \(r\)-fach unbestimmte Reihe mit einer \(s\)-fach unbestimmten, so erhält man eine Reihe, die nicht mehr als \((r+s+1)\)-fach unbestimmt ist.

MSC:

40A05 Convergence and divergence of series and sequences
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