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Some theorems on binomial coefficients. (Quelques théorèmes sur les coefficients binomiaux.) (French) JFM 22.0257.01
Nouv. Ann. (3) IX. 564-567 (1890).
Bezeichnet \(\left ( \frac{3}{m} \right ) \) das Jacobi’sche Zeichen, \(m_{q}\) den bekannten Binomialcoefficienten, so ist \[ (1) \quad \quad m_{0}+m_{3}+m_{6}-m_{9}+\cdots+(-1)^{\mu}m_{3\mu}=\left ( \frac{3}{m} \right ) 3^{\frac{m-1}{2}}. \] Diese Formel wird specialisirt, je nachdem \(m\equiv 0\) (mod.6) ist oder nicht.
Für \(m\equiv 2\) (mod.4) ergiebt sich: \[ (2) \quad \quad m_{0}+m_{4}+m_{8}+m_{12}+\cdots+m_{4\mu}=4^{\frac{m-2}{2}}. \]
Aus (1) folgt der Richelot’sche Satz, dass 3 primitive Wurzel der Primzahlen von der Form \(2^{h}+1\) ist.
MSC:
11B65 Binomial coefficients; factorials; \(q\)-identities
Full Text: EuDML