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Sur une classe de polynômes à deux variables et le calcul approché des intégrales doubles. (French) JFM 22.0299.04
Wenn wir für alle folgenden Doppelintegrale ein bestimmtes Integrationsgebiet festsetzen und dann unter \(K(x,y)\) eine integrirbare Function verstehen, welche in diesem Gebiet ihr Zeichen nicht wechselt, so kann man das allgemeinste Polynom \(P(x,y)\) vom Grade \(p\) bestimmen, welches die \(\frac 12 p(p+1)\) Gleichungen: \(\iint Kx^i y^j Pdxdy=0 \quad (i+j<p)\) befriedigt. Dieses \(P\) findet man in der Form: \(P= \sum_{\lambda =0}^p \alpha_{p- \lambda, \lambda} V_{p- \lambda, \lambda}\), wo die \(\alpha\) beliebige Constanten, die \(V\) linear unabhängige Polynome sind, deren jedes nur ein Glied \(p^{\text{ter}}\) Dimension enthält. Nun ist offenbar \(\iint KV_{m,n} V_{\mu, \nu} dx dy=0\), sobald \(m+n \lessgtr \mu + \nu\). Man kann aber aus diesen \(V\) neue Polynome \(U\) herstellen, für welche \(\iint KU_{m,n} U_{\mu, \nu} dx dy=0\), sobald nicht gleichzeitig \(m=\mu\), \(n=\nu\) ist. Zu diesem Zwecke braucht man nur (und dies ist ein Fortschritt gegenüber früheren Arbeiten von Hermite und Didon) die quadratische Form: \[ \iint K\left( x_0 V_{p,0} + x_1 V_{p-1,1} + \cdots + x_p V_{0,p} \right)^2 dxdy=0 \] in Quadrate zu zerlegen.
Der eigentliche Zweck der vorliegenden Note ist, nun zu zeigen, dass die definirten Polynome \(V(x,y)\) bei der mechanischen Quadratur von Doppelintegralen eine ähnliche Rolle spielen, wie die Legendre’schen Polynome bei der Gauss’schen Berechnung der einfachen Integrale. Wenn man in dem zu berechnenden Integral \(I= \iint Kf(x,y) dx dy\) voraussetzt, dass \(f(x,y)\) nach Potenzen entwickelt werden kann: \(f(x,y) = \sum_{\mu + \nu =0}^{\infty} a_{\mu, \nu} x^{\mu} y^{\nu}\), und dass man die Teilintegrale \(I_{\mu, \nu} = \iint K x^{\mu} y^{\nu} dx dy\) direct findet, so kann man ein angenähertes Integral \(J\) finden, wenn man \(f(x,y)\) durch ein Polynom \(\varphi(x,y)\) vom Grade \(p\) ersetzt; dasselbe enthält \(n= \frac 12(p+1) (p+2)\) Coefficienten, welche so gewählt werden, dass \(\varphi\) und \(f\) Stellen \((x_1, y_1),\; (x_2, y_2),\; \dots, \; (x_n, y_n)\) denselben Wert haben. Diese Stellen, welche im Integrationsgebiet liegen müssen und nicht einer Curve \(p^{\text{ter}}\) Ordnung angehören dürfen, kann man nun noch so bestimmen, dass in den Entwickelungen von \(I\) und \(J\) weitere \(2n\) Glieder identisch werden. Aber man trifft hier auf grosse Schwierigkeiten; die betreffenden Gleichungen können unvereinbar sein oder Punkte ergeben, die nicht im Integrationsgebiet liegen. Der Verf. erläutert diese Schwierigkeiten an 3 Beispielen, ohne dieselben zu erledingen; andere Schwierigkeiten, welche sich aus der notwendigen Fehlerbetrachtung ergeben würden, sind nicht berührt worden.

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Full Text: Numdam EuDML