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Ueber die Tissot’sche Differentialgleichung. (German) JFM 22.0318.01

Die von Herrn Tissot im Journ. de Math. (1) XVII. aufgestellte lineare Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung wird durch Integrale von der Form \[ (1) \quad \int_{a_k}^{a_l} e^u (u-a_1)^{b_1 -1} (u-a_2)^{b_2 -1} \dots (u- a_{n-1})^{b_{n-1} -1} (u-x)^{\lambda -1} dx \] befriedigt. Nimmt man ausser \(a_1, \dots, a_{n-1}\) noch die Werte \(-\infty\) und \(x\) als Integrationsgrenzen, so liefern diese Ausdrücke das vollständige Integral der Tissot’schen Differentialgleichung. Ihre singulären Punkte sind \(a_1, a_2, \dots, a_{n-1}, \infty\). Zweck der vorliegenden Arbeit ist, diejenigen Integrale in der Umgebung der singulären Punkte, welche bei einem Umlauf um dieselben ihren anfänglichen Wert, multiplicirt mit einem constanten Factor, wieder annehmen (von Herrn Pochhammer Hauptintegrale genannt), durch bestimmte Integrale darzustellen, mit Ausschliessung der logarithmischen Fälle. In den bestimmten Integralen, die hierzu dienen, ist die zu integrirende Function die gleiche wie in (1). Als Integrationswege kommen aber neben geraden Strecken auch geschlossene Curven, resp. Doppelumläufe vor (s. das vorstehende Referat (JFM 22.0317.02)). In der Umgebung der endlichen singulären Punkte sind sämtliche Integrale der Differentialgleichung regulär; \(n-1\) von einander unabhängige sind eindeutig, eines ist mehrdeutig. Ein particuläres Integral existirt, welches eine ganze transcendente Function von \(x\) ist und daher in der Umgebung aller singulären Punkte als eindeutiges Hauptintegral auftritt. In der Umgebung des Unendlichkeitspunktes verhalten sich dagegen nicht alle regulär, wie die zu \(x= \infty\) gehörige determinirende Gleichung zeigt, deren Grad nicht \(n\), sondern \(n-1\) ist. Auch hier lassen sich die Hauptintegrale durch bestimmte Integrale darstellen. Der Versuch, aus ihnen Reihen nach fallenden Potenzen von \(x\) abzuleiten, ergiebt, dass \(n-2\) reguläre und zwar mehrdeutige Integrale existiren und 2 irreguläre, von denen das eine eindeutig ist, nämlich die schon erwähnte transcendente ganze Function, das andere mehrdeutig. Bemerkenswert ist, dass die formal genügende Potenzreihe nach fallenden Potenzen von \(x\), die man aus der Differentialgleichung selbst entwickeln kann, zwar im allgemeinen divergirt, d. h. so lange die \(n-1\) darin auftretenden willkürlichen Coefficienten, von denen die übrigen linear abhängen, beliebig gelassen werden, aber die man zwischen den willkürlichen Coefficienten einführt, convergent zu werden, da, wie bemerkt, \(n-2\) von einander unabhängige reguläre Integrale in der Umgebung von \(x= \infty\) existiren. Diese Beziehung für \(n=3\) angegeben, sie ist transcendent. Zum Schluss wird noch das System der Integrale dargestellt, die bei einer Umkreisung mehrerer singulären Punkte ihren anfänglichen Wert, multiplicirt mit einem constanten Factor, erhalten. Sie werden als Hauptintegrale einer ringförmigen Fläche bezeichnet.

Citations:

JFM 22.0317.02
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