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Sur une équation du premier ordre et l’équation de Jacobi. (French) JFM 22.0334.01

Gegenstand der Arbeit sind die Differentialgleichungen erster Ordnung von der Gestalt \[ \frac{dy}{dx} = \frac{Py^2 + Qy +R}{Sy +T}, \] deren Coefficienten beliebige Functionen von \(x\) sind. Durch die Substitution \[ (1) \quad y= e^{\int \frac PS dx} \cdot Y- \frac TS \] transformirt sie sich in die “reducirte Gleichung” \[ (2) \quad \frac{dY}{dx} +J= \frac HY, \] in der \(J\) und \(H\) bis auf die willkürlichen constanten Factoren \(h\), resp. \(h^2\) bestimmt sind und die Eigenschaft haben, in Folge der gleichzeitigen Aenderungen \[ y= ay_1 +b, \quad \frac{dx_1}{dx} =c \quad (a,b,c \; \text{ beliebige Functionen von }x) \] in \[ J_1= \frac 1c\;J, \quad H_1 = \frac 1c\;H \] überzugehen. Der Quotient \(H:J =\overline J\) ist daher eine absolute Invariante. Führt man in (2) noch durch die Substitution \(\frac{dX}{dx} =J\) die neue unabhängige Variable \(X\) ein, so erhält man die “kanonische Gleichung” \[ (3) \quad \frac{dY}{dX} +1 =\frac{\overline J}{Y}, \] in der \(X\) ebenfalls eine absolute Invariante ist. Aus (2) und (3) erkennt man, dass die Gleichung (1) integrabel wird, wenn \[ \frac{\overline J}{dX} = \frac{d\frac HJ}{dx} : J= \text{const. oder } \overline J = \frac HJ =\text{const.} \] Durch die Substitution \(Y= u+ \frac{1}{aY_1 +b}\), wo \(u\) eine Lösung von (2), \(a\) und \(b\) beliebige Functionen von \(x\) sind, erhält man eine neue Gleichung von der Form (1), und indem man diese auf die kanonische Form bringt, wird die daselbst auftretende Invariante \(\overline{J_1}\) von den Functionen \(a\) und \(b\) unabhängig. Es kann nun eintreten, dass \(\frac{d\overline{J_1}}{dX_1}\), wo \(X_1\) die andere absolute Invariante ist, constant\(=k\) wird, alsdann ist die ursprüngliche Gleichung integrabel. Die bezügliche Discussion ergiebt, dass die absolute Invariante von (1) in diesem Falle die Form hat \[ \overline J= \pm \frac 29\;\frac{9k+2}{\sqrt X} + \frac 29 \left[ 3(3k +1)-X \right]. \] Durch diesen Wert von \(\overline J\) sind eben die Jacobi’schen Gleichungen charakterisirt. Diese werden einer näheren Betrachtung unterzogen, wobei 3 Fälle unterschieden werden, je nachdem die zugehörige kubische Gleichung 3 verschiedene Wurzeln, eine Doppelwurzel oder eine dreifache Wurzel hat. Im ersten Falle ergiebt sich \(k\) als Wurzel einer kubischen Gleichung, im zweiten ist \(k=0\), im dritten ist \(\frac{d\frac HJ}{dx} :J=- \frac 29\), also die Jacobi’sche Gleichung unmittelbar integrabel. Im folgenden werden die Gleichungen der Form (1) untersucht, deren allgemeines Integral die Form hat
\((y-A)^{\alpha} (y-B)^{\beta} (y-C)^{\gamma} =D.\text{const.}\) (\(A,B,C,D\) beliebige Functionen von \(x\)). Hierzu ist notwendig, dass entweder \(D=\text{const.}\) und \(\alpha + \beta +\gamma =0\), oder \(D=\text{const.}\) \(A^{\alpha} B^{\beta} C^{\gamma}\) mit der Bedingung \(\frac{\alpha}{A} + \frac{\beta}{B} + \frac{\gamma}{C} =0\). Die erste Form führt nur auf Gleichungen, die aus der Jacobi’schen Gleichung durch Aenderung der unabhängigen Variable hervorgehen. Die zweite Form ist ein Specialfall der Form \[ (y-A)^{\alpha} (y-B)^{\beta} (y-C)^{\gamma} (y-D)^{\delta} = \text{const.,} \] welche zu einer Differentialgleichung von der Form (1) führt, unter den Bedingungen \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta =0, \quad \alpha A+ \beta B+ \gamma C+ \delta D=0. \] Durch eine Aenderung der unabhängigen Variable kann man bewirken, dass \(A,B,C,D\) lineare Functionen von \(x\) sind. Die Differentialgleichung hat alsdann 4 Particularlösungen, die lineare Functionen von \(x\) sind, und stellt somit eine Verallgemeinerung der Jacobi’schen Gleichung dar. Sie gehört zu der Klasse von Gleichungen, die Herr Darboux in den C. R. LXXXVI (F. d. M. X. 1878. 214, JFM 10.0214.02; JFM 10.0214.03; JFM 10.0214.04) betrachtet hat.
Zum Schlusse folgen Bemerkungen über die Gleichungen von der Form (1), in denen \(P,Q,R\) Constanten, \(S\) und \(T\) Polynome vom ersten oder zweiten Grade sind.
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