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Extension de la méthode de Jacobi pour intégrer une seule équation aux dérivées partielles à une fonction inconnue, dont les dérivées y entrent linéairement, au cas d’un système passif d’équations de cette sorte en nombre quelconque. (French) JFM 22.0349.02

Nachdem der Verfasser eine Reihe von Sätzen und Bezeichnungen aus einer früheren, gemeinsam mit Herrn Riquier verfassten Abhandlung (Ann. de l’Éc. Norm. (3) VI, VII; F. d. M. XXI. 1889. 338 (siehe JFM 21.0338.02) und das vorangehende Referat (JFM 22.0349.01)) über Systeme von partiellen Differentialgleichungen wiederholt hat, wendet er sich zur Betrachtung des “immediaten passiven” Systems \[ \frac{\partial u}{\partial x_m} =- A_{m,0} + A_{m,1}\;\frac{\partial u}{\partial u_1} + \dots + A_{m,q}\;\frac{\partial u}{\partial u_q} \qquad (m= 1,\dots, p), \] wo \(u\) eine Function der \(p\) Hauptvariabeln \(x_1, \dots, x_p\) der parametrischen Variabeln \(u_1, u_2, \dots, u_q\) ist und \(A_{m,n}\) Functionen von \(x_1, \dots, x_p\), \(u_1, \dots, u_q\), \(u\) bedeuten. Damit dasselbe passiv sei, müssen die Gleichungen bestehen \[ -\frac{\partial A_{m,\nu}}{\partial x_n} + \sum_{\mu =0}^q\;\frac{\partial A_{m, \nu}}{\partial u_{\mu}}\;A_{n, \mu} =- \frac{\partial A_{n, \nu}}{\partial x_m} + \sum_{\mu =0}^q\;\frac{\partial A_{n, \nu}}{\partial u_{\mu}}\;A_{m, \mu}\quad (\nu =0,1, \dots, q), \] worin für \(\frac{\partial}{\partial u_0}\) stets \(\frac{\partial}{\partial u}\) zu nehmen ist und \(m\) und \(n\) sämtliche Combinationen zu zweien der Zahlen \(1, \dots, p\) annehmen. Um dieses System zu lösen, kann der von Jacobi für eine Gleichung vorgeschriebene Weg eingeschlagen werden. Man bildet zunächst ein Hülfssystem totaler Differentialgleichungen, löst die Formeln, welche die allgemeinen Integrale hiervon liefern, nach den willkürlichen Constanten auf und bildet aus den hierdurch erhaltenen Functionen \(\varGamma_1, \dots, \varGamma_{q+1}\) die Lösungen des vorgelegten Gleichungssystems.
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Full Text: DOI Numdam EuDML