On fourfold periodic functions of two variables of the third kind. (Sur les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce.) (French) JFM 22.0419.02

Appell, P.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) VII, 143-154 (1890).

Im Anschluss an die Terminologie, welche Hr. Hermite in die Theorie der doppeltperiodischen Functionen eingeführt hat, bezeichnet Hr. Appell eine eindeutige Function von zwei Variabeln \(x,y\) die sich bei Vermehrung der Argumente um ein Paar zusammengehöriger Perioden mit einem Exponentialfactor der Gestalt \(e^{ax+by+c}\) multiplicirt, als eine periodische Function dritter Art. Doch dürfen die Constanten \(a\) und \(b\) nicht sämtlich verschwinden. Wenn diese Constanten verschwinden, ohne dass die Constanten \(c\) sämtlich Null sind, so heisst die Function periodisch zweiter Art. Wenn endlich auch die Constanten \(c\) sämtlich verschwinden, so heisst die Function periodisch schlechthin oder periodich erster Art. Für die Functionen der ersten und zweiten Art, die keine wesentlich singuläre Stelle im Endlichen haben, gilt der Satz, dass sie zurückgeführt werden können auf ebensolche Functionen mit den Periodensystemen \((2\pi i,0), (0, 2\pi i), (\alpha, \beta), (\alpha', \beta')\), wobei \(\beta = \alpha'\) ist. Lässt man wesentlich singuläre Stellen im Endlichen zu, so sind die Periodensysteme für die Functionen erster und zweiter Art keiner Einschränkung unterworfen, wie Herr Picard gezeigt hat. Der Hauptzweck der vorliegenden Abhandlung ist nun der Nachweis, dass für Functionen dritter Art, auch wenn sie wesentlich singuläre Stellen im Endlichen haben, die Periodensysteme stets auf die Gestalt \((2\pi i, 0), (0, 2\pi i), (\alpha, \beta), (\alpha', \beta')\) mit der Bedingung \(\beta = \alpha'\) gebracht werden können. Am Schluss der Abhandlung giebt der Verfasser unendliche Reihen an, die vierfach-periodische Functionen dritter Art darstellen.

Reviewer: Hurwitz, Prof. (Zürich)

MSC:

14H42

Theta functions and curves; Schottky problem

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Periods; multiplier systems; theta functions