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On a new class of holomorphic transcendents. (Sur une classe nouvelle de transcendantes uniformes.) (French) JFM 22.0420.01
Ein System von Functionen \(\varphi_1 (u), \varphi_2 (u), \dots, \varphi_n (u)\) besitzt ein “Multiplicationstheorem”, wenn \(\varphi_1 (mu), \varphi_2 (mu), \dots, \varphi_n (mu)\) sich als rationale Functionen von \(\varphi_1 (u), \varphi_2 (u), \dots, \varphi_n (u)\) mit von \(u\) unabhängigen Coefficienten darstellen lassen, wobei \(m\) eine Constante bezeichnet. Beispiele von derartigen Functionssystemen lassen sich leicht bilden. So besitzen die Systeme \[ \varphi_1 (u) = \sin u, \; \varphi_2 (u) = \cos u, \] sowie \[ \varphi_1 (u) = \theta^2 \left( u - \frac{\omega'}{2} \right), \; \varphi_2 (u) = \theta (u- \alpha) \theta (u+ \alpha -\omega'), \; \varphi_3 (u) = e^{\frac{au}{2}}, \] wo \(\alpha\) und \(\omega'\) Constanten bedeuten, je ein Multiplicationstheorem, wobei noch der Constante \(m\) jeder ganzzahlige Wert beigelegt werden kann.
Der Verfasser stellt sich nun die Aufgabe, diejenigen Functionssysteme, welche ein Multiplicationstheorem besitzen, näher zu untersuchen. Doch beschränkt er sich auf den Fall, wo \(| m | >1\) ist und überdies die Functionen des Systems sich in der Umgebung von \(u=0\) wie rationale Functionen verhalten. Es ist dann keine weitere Beschränkung, wenn man annimmt, dass die Functionen für \(u=0\) sämtlich verschwinden. Da vermöge des Multiplicationstheorems die für die Umgebung \(\varrho\) der Nullstelle eindeutig gegebenen Functionen sich eindeutig auf die Umgebung \(| m | \varrho\) fortsetzen lassen, so folgt dass die Functionen in der ganzen \(u\)-Ebene eindeutig sind. Sind nun \[ (1) \qquad \varphi_i (mu) = R_i (\varphi_1 (u), \varphi_2 (u), \dots, \varphi_n (u)) \quad (i=1,2, \dots,n) \] die Gleichungen des Multiplicationstheorems, so schliesst der Verfasser indem er \(u=0\) setzt, dass die rationale Function \(R_i\) verschwindet, wenn alle Argumente gleich Null sind. Dieser Schluss ist aber nicht bindend, da \(R_i\) für \(u=0\) auch verschwinden kann, wenn \(R_i(0,0, \dots,0)\) die unbestimmte Form \(\frac 00\) annimmt. Setzt man also mit dem Verfasser \(R_i (0,0, \dots, 0)=0\), so implicirt dies eine weitere Beschränkung. Vergleicht man in den Gleichungen (1) die Coefficienten von \(u\), welche bei der Entwickelung der linken und rechten Seiten nach Potenzen von \(u\) auftreten, so erhält man die \(n\) Gleichungen \[ (2) \qquad mA_i = B_{i1} A_1 + B_{i2} A_2 + \dots + B_{in} A_n \quad (i=1,2, \dots,n). \] Dabei bedeutet \(A_i\) den Wert von \(\frac{d\varphi_i (u)}{du}\) für \(u=0\) und \(B_{ik}\) den Wert von \(\frac{\partial R_i (x_1, x_2, \dots, x_n)}{\partial x_k}\) für \(x_1 = x_2 = \dots = x_n =0\). Der Verfasser beschränkt sich nun weiter auf diejenigen Systeme \(\varphi_1 (u), \varphi_2 (u), \dots, \varphi_n (u)\), bei welchen wenigstens eine der Grössen \(A_1, A_2, \dots, A_n\) nicht verschwindet. Es folgt dann aus den Gleichungen (2), dass die ganze Function \(n^{\text{ten}}\) Grades von \(S\): \[ (3) \quad F(S) = \left|\begin{matrix}\l\quad & \l\quad & \quad & \l\\ B_{11} -S & B_{12} & \dots & B_{1n} \\ B_{21} & B_{22} -S & \dots & B_{2n} \\ \hdotsfor4\\ B_{n1} & B_{n2} & \dots & B_{nn} -S \end{matrix}\right| \] für \(S=m\) verschwinden muss. Wenn nun die rationale Functionen \(R_i (x_1, \dots, x_n)\) gegeben und die Bedingungen \(R_i (0, \dots, 0)=0\) und \(F(m)=0\) erfüllt sind, so zeigt sich, dass man die Gleichungen (1) formell stets durch \(n\) gewöhnliche Potenzreihen \(\varphi_1 (u), \varphi_2 (u), \dots, \varphi_n (u)\) befriedigen kann, wenn nur \(F(m^2), F(m^3), \dots\) sämtlich von Null verschieden sind. Diese Potenzreihen enthalten noch \(h\) willkürliche Constanten \(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_h\), wenn die Determinante \(F(m)\) mit ihren Unterdeterminanten der ersten \(h-1\) Ordnungen verschwindet, die Unterdeterminanten \(h^{\text{ter}}\) Ordnung nicht mehr. Die Reihen \(\varphi_1 (u), \dots, \varphi_n(u)\) sind dann nach Potenzen von \(\beta_1 u, \beta_2 u, \dots, \beta_h u\) angeordnet und gehen, wenn man \(\beta_1 u=u_1, \beta_2 u=u_2, \dots, \beta_h u=u_h\) setzt, in \(n\) Reihen \(\varphi_1 (u_1, u_2, \dots, u_h), \dots, \varphi_n (u_1, u_2, \dots, u_h)\) über, die formell den Gleichungen \[ \varphi_i (mu_1, mu_2, \dots, mu_h) = R_i [\varphi_1 (u_1, \dots, u_h), \dots, \varphi_n (u_1, \dots, u_h)] \]
\[ (i= 1,2, \dots, n) \] genügen. Es handelt sich nun darum, zu beweisen, dass die gefundenen Reihen in einem genügend klein gewählten Bezirk convergiren. Dieser Beweis beruht auf der Methode der Reihenvergleichung, die bei dem Nachweise der Existenz der Lösung von Differentialgleichungen angewandt zu werden pflegt. Nach Erledigung dieses wesentlichen Punktes wendet sich der Verfasser zu der Darstellung der Functionen \(\varphi_1(u), \dots, \varphi_n(u)\) durch Quotienten ganzer (transcendenter) Functionen. Es ergiebt sich hier der Satz, dass diese Darstellung immer in der Gestalt \(\varphi_1 (u) = \frac{\psi_1 (u)}{\psi_{n+1}(u)}, \dots, \varphi_n (u)= \frac{\psi_n (u)}{\psi_{n+1} (u)}\) und zwar so möglich ist, dass die ganzen Functionen \(\psi_i (u)\) ein Multiplicationstheorem der Form \[ \psi_i (mu) =G_i (\psi_1 (u), \psi_2 (u), \dots, \psi_{n+1} (u)) \quad (i=1,2, \dots, n+1) \] besitzen, wo \(G_i (x_1, x_2, \dots, x_{n+1})\) ganze rationale Functionen von \(x_1, x_2, \dots, x_{n+1}\) bedeuten. Die weiteren Untersuchungen des Verfassers beziehen sich auf die “Cremona’schen” Functionen. Darunter ist Folgendes zu verstehen. Das Multiplicationstheorem heisst “Cremonaisch”, wenn die Gleichungen (1) eine eindeutige Umkehrung gestatten, wenn also aus diesen Gleichungen \(\varphi_1 (u), \varphi_2 (u), \dots, \varphi_n (u)\) als rationale Functionen von \(\varphi_1 (mu), \varphi_2 (mu), \dots, \varphi_n (mu)\) darstellbar sind. Ist dann überdies \(B_{ii} =m\) und \(B_{i,k} =0 (i \lessgtr k)\), so heissen die Functionen \(\varphi_1 (u), \dots, \varphi_n (u)\) “Cremona’sche Functionen.” Diese Functionen enthalten nach dem Obenbemerkten noch \(n\) willkürliche Constanten \(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\) und gehen, wenn \(\beta_1 u, \beta_2 u, \dots, \beta_n u\) bez. mit \(u_1, u_2, \dots, u_n\) bezeichnet werden, in \(n\) Functionen \[ (4) \qquad z_i = \varphi_i (u_1, u_2, \dots, u_n) \quad (i= 1,2, \dots, n) \] über. Die Gleichungen (4) lassen sich für hinreichend kleine Werte von \(| z_1 |, | z_2 |, \dots, | z_n |\) umkehren und ergeben \[ (5) \qquad u_i = \psi_i (z_1, z_2, \dots, z_n) \quad (i = 1,2, \dots, n). \] Eine erste Frage, welche der Verfasser behandelt, bezieht sich auf den Existenzbereich der Functionen \(\psi_1, \psi_2, \dots, \psi_n\). Die Functionen existiren, allgemein zu reden, nur für die Stellen \(z_1, z_2, \dots, z_n\) eines gewissen Gebietes \(D\). Untersucht man nämlich, ob \(u_1, u_2, \dots, u_n\) so bestimmt werden können, dass die aus Gleichung (4) folgenden Werte von \(z_1, z_2, \dots, z_n\) vorgeschriebene Werte \(a_1, a_2, \dots, a_n\) sind, so erkennt man, dass dies dann, und nur dann, der Fall ist, wenn die unbegrenzte Iterirung der Cremona’schen Transformation die Stelle \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) in die Stelle \((0,0, \dots, 0)\) überführt. Die Gesamtheit aller Stellen \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) von dieser Eigenschaft bildet das Gebiet \(D\). In diesem Gebiete sind die Functionen \(\psi_1, \psi_2, \dots, \psi_n\) eindeutig; sie gehen bei Anwendung der Cremona’schen Transformation bis auf den constanten Factor \(m\) in sich selber über, und der Quotient je zweier dieser Functionen bleibt also vollständig ungeändert. Jede andere Function \(F(z_1, z_2, \dots, z_n)\) von derselben Eigenschaft ist eine rationale Function der Quotienten \(\frac{\psi_1}{\psi_n}, \frac{\psi_2}{\psi_n}, \dots, \frac{\psi_{n-1}}{\psi_n}\), wenn sie in dem Gebiete \(D\) meromorph ist.
Zum Schlusse wendet der Verfasser diese allgemeine Theorie auf den besonderen Fall an, wo \(n=2\) ist und die Cremona’sche Transformation \(\left( x,y ; \frac{mx}{1- \beta x}, \frac{ay+b}{cy+d} \right)\) lautet. Die Grösse \(m\) ist dabei, wie durchgängig in der Abhandlung, der Multiplicator; ferner bezeichnet \(\beta\) eine Constante und \(a,b,c,d\) ganze rationale Functionen von \(x\), die sich für \(x=0\) auf \(a=m, b=0,c=c_0, d=1\) reduciren.

MSC:
32A05 Power series, series of functions of several complex variables
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