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Eine Klassification der allgemeinen Ebenensysteme. (German) JFM 22.0553.01
Die von Steiner aufgeworfene Frage nach der durch \(n\) beliebige Ebenen bewirkten Teilung des Raumes nimmt der Verfasser nach der Richtung wieder auf, dass er insbesondere die Structur des bezüglichen vollständigen \(n\)-Flachs ins Auge fasst. Werden die einfachsten Teilkörper als Primärkörper bezeichnet, so handelt es sich in der Hauptsache darum, ein System wohl definirter Primkörper aufzustellen, welches ein das \(n\)-Flach bestimmendes Fundamentalsystem repräsentirt. Dabei ist zu bemerken, dass im Gegensatz zu Steiner und im Einklang mit der projectiven Vorstellungsart auch Zusammenhang durch das Unendliche zugelassen wird.
Zu jedem Primärkörper sind dreierlei Arten anderer Primärkörper benachbart; sie haben mit ihm entweder eine Fläche oder eine Kante oder eine Ecke gemein und werden resp. Seitenkörper, Kantenkörper, Scheitelkörper genannt. Ihre Zahl beträgt, wenn der Ausgangskörper ein \(m\)-Flach ist, resp. \(m\), \(2m-4\), \(3m-6\). An diese Begriffsbestimmungen knüpft der Verfasser zunächst folgende Frage: Umfasst das System der unmittelbaren und mittelbaren Seitenkörper, der Kantenkörper oder der Scheitelkörper eines Primärkörpers die Gesamtheit aller Primärkörper des \(n\)-Flachs oder nur einen Teil derselben? Dabei ist evident, dass die erste Frage zu bejahen ist.
Für die Beantwortung der anderen beiden Fragen ist es zweckmässig, zunächst die analoge Untersuchung in der Ebene durchzuführen, d. h. also das durch \(n\) beliebige Geraden bestimmte vollständige \(n\)-Seit ins Auge zu fassen. Für jedes derartige \(n\)-Seit bildet die Gesamtheit der Primärflächen bei ungeradem \(n\) ein einziges System von Scheitelflächen, bei geradem \(n\) dagegen zerfällt es in zwei einander ausschliessende Systeme von Scheitelflächen mit irgend zwei eigentlichen Seitenflächen als Grundflächen. Die vollständigen \(n\)-Seite sondern sich also in solche gerader und ungerader Ordnung. Die demselben Wert von \(n\) entsprechenden \(n\)-Seite werden nach ihrem Charakter, d. h. nach der durch sie bewirkten Zerlegung der Ebene in Einzelgebiete, unterschieden. Von Dreiseiten, Vierseiten, Fünfseiten giebt es nur je eine Art. Für \(n \geqq 6\) giebt es mehrere Arten; sie sind durch das in ihnen enthaltene System von Primärdreiseiten bestimmt, von denen jedes vollständige \(n\)-Seit mindestens \(n\) besitzt. Als \(n\)-Seite vom einfachsten Charakter ergeben sich sogenannte Normal-\(n\)-Seite; sie enthalten genau \(n\) Dreiseite und ausserdem noch \(\frac {n.n-3}{2}\) Vierseite.
Für das System der Kantenkörper eines allgemeinen \(n\)-Flachs gilt ein analoger Satz wie für die Scheitelkörper des \(n\)-Seits; sie bilden, je nachdem \(n\) ungerade oder gerade ist, ein einziges oder zwei verschiedene Systeme. Nicht so einfach lauten die Sätze über die Scheitelkörper. Ist \(n\) zunächst gerade, so umfasst das vollständige System der Scheitelkörper alle Primärkörper, und zwar bildet der Grundkörper mit den Scheitelkörpern gerader Stellenzahl das eine System von Kantenkörpern, während das andere aus den Scheitelkörpern ungerader Stellenzahl besteht. Ist \(n\) ungerade, so ist zu unterscheiden, ob es mindestens eine unter den \(n\) Ebenen giebt von der Art, dass die übrigen \(n-1\) Ebenen in ihr ein \((n-1)\)-Seit bestimmen, in welchem jedes der beiden Systeme von Scheitelflächen Flächen ungerader Ordnung enthält oder nicht. Im ersten Fall bilden die sämtlichen Primärkörper ein einziges System von Scheitelkörpern. Im zweiten Fall dagegen, wenn also in jeder Ebene das durch die anderen \(n-1\) Ebenen erzeugte vollständige \(n\)-Seit von der Art ist, dass das eine System von Scheitelflächen alle Flächen ungerader Ordnung, das andere nur Flächen gerader Ordnung enthält, besteht die Gesamtheit aller Primärkörper aus zwei sich ausschliessenden Systemen von Scheitelkörpern, und zwar so, dass in jedem beliebigen Durchschnittspunkte dreier Ebenen ein Körperpaar des ersten Systems und drei Körperpaare des zweiten Systems zusammenstossen. Die bezüglichen Ebenensysteme werden als solche erster und zweiter Species bezeichnet.
Was die Structur der \(n\)-Flache betrifft, so sind wiederum drei vorhanden, die invarianten Charakter besitzen, nämlich das Vierflach, das Fünfflach und das Sechsflach. Ist \(n>6\), so treten je nach der Lage der \(n\) Ebenen \(n\)-Flache verschiedenen Charakters auf. Für sie folgt, analog zu den Eigenschaften der \(n\)-Seite, dass das System ihrer Primärvierflache für ihren Charakter entscheidend ist, und zwar enthält jedes \(n\)-Flach mindestens \(n\) solcher Vierflache. Hiermit ist die Anfangs aufgeworfene Frage beantwortet. Im besonderen lässt sich wieder die Existenz von gewissen Normal-\(n\)-Flachen beweisen, die genau \(n\) Primärvierflache enthalten. Das vollständige Normal-\(n\)-Flach ungerader Ordnung ist ein Ebenensystem zweiter Species in dem oben genannten Sinn, und zwar gehören alle seine \(n\) Primärvierflache zu einem und demselben System von Scheitelkörpern.
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Full Text: Crelle EuDML