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Remarques sur la méthode des périmètres pour calculer le nombre \(\pi\). (French) JFM 22.0577.01

Bedeutet \(p_n\) den Umfang eines regelmässigen \(n\)-Ecks, welches einem Kreise mit dem Radius \(r=1\) eingeschrieben ist, so ist \(p_{2n}\) durch die Grössen \(\alpha_n = \sqrt{1+ \frac{p_n}{2n}}\) und \(\beta_n = \sqrt{1 - \frac{p_n}{2n}}\) in der Form darstellbar \(\frac{1}{p_{2n}} = \frac{1}{p_n} \,\frac{\alpha_n + \beta_n}{2}\), der Umfang \(P_n\) des umgeschriebenen regelmässigen \(n\)-Ecks ist aber mit ihnen durch die Gleichung verbunden \(\frac{1}{P_n} = \frac{1}{p_n}\, \alpha_n \beta_n\). Stellt man \(\alpha_{2n}\) und \(\beta_{2n}\) in ihrem Zusammenhange mit \(\alpha_n\) und \(\beta_n\) dar, so folgt \[ \alpha_{2n} = \sqrt{1+ \frac{\alpha_n - \beta_n}{2}}; \quad \beta_{2n} = \sqrt{1 - \frac{\alpha_n - \beta_n}{2}}, \] und mit Hülfe dieser recurrenten Formeln lässt sich zur Berechnung von \(\pi\) die Formel aufstellen \[ \frac{1}{2\pi} = \lim \frac{1}{p_n} \cdot \frac{\alpha_n + \beta_n}{2} \cdot \frac{\alpha_{2n} + \beta_{2n}}{2} \cdot \frac{\alpha_{4n} + \beta_{4n}}{2} \cdots \] Für \(n=2\) ist \(p_2 = 4\); \(\alpha_2 = \sqrt 2\); \(\beta_2 = 0\), und für \(\frac{\pi}{2}\) erfolgt die Darstellung (vergl. Seidel, J. für Math. LXXIII. 273. Red.): \[ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{\sqrt 2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+ \sqrt 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt 2}}}\cdots . \]
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