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Remarques au sujet du théorème de Carnot. (French) JFM 22.0622.01
Nouv. Ann. (3) IX. 5-20 (1890).
Der Verfasser beweist auf einfachste Weise das Theorem von Carnot in dem allgemeinen Falle, dass die \(p\) Seiten eines allgemeinen Polygons von einer Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung geschnitten werden. Dieselben Betrachtungen führen dann auch zu der der Carnot’schen analogen Relation zwischen den Schnittpunkten, welche eine Fläche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung auf den Seiten eines räumlichen Polygons ausschneidet. Weiter ergiebt sich, dass, während die Umkehrung des Carnot’schen Satzes in der Ebene für \(n=1\) und \(n=2\) Bedeutung hat, sie im Raume für \(n=1\), \(n=2\) und \(n=6\) passt. Für \(n=6\) erhält man folgenden Satz: “Auf jeder der 14 Seiten eines räumlichen 14-Seits \(ABC \dots L\) seien sechs Punkte \(P_1\), \(P_2, \dots, P_6\) ferner \(Q_1\), \(Q_2\), \(\dots\), \(Q_6\) etc. gelegen, und zwar derartig, dass \[ \alpha_1 . \alpha_2 \dots \alpha_{14} = 1 \] ist, wenn \[ \alpha_1 = \frac{P_1 B}{P_1 A} \cdots \frac{P_6 B}{P_6 A}, \quad \alpha_2 = \frac{Q_1 C}{Q_1 B} \cdots \frac{Q_6 C}{Q_6 B}, \; \cdots, \quad \text{bis} \quad \alpha_{14} = \cdots . \] Dann liegen die 84 Punkte \(P_1\), \(\dots\), \(P_6\), \(Q_1\), \(\dots\), \(Q_6\) etc. auf einer und derselben Fläche sechsten Grades, während doch eine solche punktallgemein gedachte Fläche schon durch 83 Punkte eindeutig bestimmt ist.” Weitere Betrachtungen des Verfassers geben Analoge des Carnot’schen Satzes für Flächen gegebener “Klasse”.
Full Text: EuDML