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On some applications of circular coordinates. (English) JFM 22.0693.02
Sind \(X\) und \(Y\) die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes, so sind die Kreiscoordinaten definirt durch die Formeln; \[ x=re^{i \vartheta}=X+iY;\quad y=re^{-i \vartheta}=X-iY. \] Mittels dieser Coordinaten vereinfachen sich, wie der Verfasser zeigt, die Beweise der von Laguerre und Humbert gegebenen Sätze über Curven \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung [S. F. d. M. XIX. 1887. 432, JFM 19.0432.01, u. XX. 1888. 686, JFM 20.0686.01], und ebenso die zu den Specialfällen dieser Sätze führenden Wege. – Sehr einfach gestaltet sich ferner die Discussion der Gleichung \[ dx: \varPi(x- a_r)^{q_r} = dy : \varPi(y- b_r)^{q_r},\quad (r=1,2,\dots, n). \] Dieselbe stellt eine Curve dar, bei welcher eine lineare Beziehung existirt zwischen den Winkeln einer Tangente mit einer festen Axe und den Winkeln, welche dieselbe Axe mit den aus dem Berührungspunkte der Tangente durch \(n\) feste Punkte \((a_r, b_r)\) gehenden Strahlen bildet. Der Verfasser discutirt eine Reihe einfacher Beispiele solcher Gleichungen und schliesst mit der Gleichung \[ \sin xdx = \sin ydy, \] die für unendliche Gliederzahl des Productes \(\varPi\) unter obige Form fällt. Hierbei gelangt er auch zur Summirung verschiedener trigonometrischer Reihen.
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