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Réalisation et usage des formes imaginaires en géométrie. (French) JFM 22.0694.02
Nouv. Ann. (3) IX. 60-93, 161-181, 375-392, 435-444, 508-528 (1890).
Die Schrift ist aus dem Bestreben erwachsen, die Lehre von den conjugirten Kegelschnitten auf Curven überhaupt auszudehnen. Zu diesem Zweck wirft Herr M. zunächst folgende Frage auf: Wie muss man zwei Functionen \(\varphi(\alpha, \beta; \alpha', \beta')\) und \(\psi(\alpha, \beta; \alpha', \beta')\) wählen, damit der reelle Punkt \[ \xi=\varphi(\alpha, \beta; \alpha', \beta'),\quad \eta=\psi(\alpha, \beta; \alpha', \beta') \] eine vom Coordinaten-System unabhängige Beziehung zu dem imaginären Punkte \[ x=\alpha+\beta i,\quad y=\alpha'+\beta'i \] annimmt\(?\) Es zeigt sich sofort, dass alsdann \[ \xi=\alpha+k\beta,\quad \eta=\alpha'+k \beta' \] sein muss. Da \(k\) ohne wesentliche Veränderung gleich Eins gesetzt werden kann, so bezeichnet Herr M. den Punkt \(\xi=\alpha+\beta\), \(\eta=\alpha'+\beta'\) als den repräsentirenden Punkt, die Realisation des Punktes \(x=\alpha+ i \beta\), \(\eta=\alpha'+i \beta'\).
Eine Gleichung \[ f(x, y) = 0 \] ist nun zwei Beziehungen zwischen den \(\alpha,\beta,\alpha',\beta'\) äquivalent, so dass die repräsentirenden Punkte die ganze Ebene überdecken. Eine bestimmte Curve wird herausgehoben, wenn man noch irgend eine Hülfsbeziehung für die \(\alpha,\beta, \alpha', \beta'\) hinzunimmt. Die einfachste Beziehung dieser Art ist \[ \beta' = \beta.C. \] Jeder Punkt dieser Art erhält eine reelle Abscisse, wenn man eine Coordinaten-Transformation vornimmt, bei welcher die \(y\)-Axe eine der Geraden \[ y=Cx+D \] wird. Die Repräsentanten von Punkten, welche dieser Beziehung genügen, liegen auf der dem Werte \(C\) entsprechenden conjugirten Curve der gegebenen. Wählt man die Richtung einer conjugirten Curve zur \(y\)-Axe, so wird ihre Gleichung \[ \eta'=\varphi(x')+\psi(x'), \] wenn sich die Punkte der Curve auf Parallelen zur \(y\)-Axe in der Form \[ y'=\varphi(x')+i \psi(x') \] darstellen.
Die conjugirten Curven einer gegebenen umhüllen den reellen Zug derselben, infolge dessen auch den reellen Zug, welchen die Gleichung \[ f(ix, iy) = 0 \] darstellt, die Imaginär-Enveloppe der Schar conjugirter Curven. Ausserhalb beider Curven können sie sich nur schneiden. Mit grosser Ausführlichkeit werden insbesondere die Beziehungen conjugirter Kegelschnitte zu einander erläutert.
Als eine Folge der Entwickelungen ergiebt sich zuerst, dass eine Osculation zweier Curven im analytischen Sinne von den beiden conjugirten Curven reell verwirklicht wird, welche der betreffende Punkt charakterisirt. Erhält man durch Berechnung nach der gewöhnlichen Formel \(r'+ir''\) als Krümmungsradius eines imaginären Punktes, so hat in dem repräsentirenden Punkte die betreffende conjugirte Curve den Krümmungsradius \(r'+ r''\).
In dem letzten Teil seiner Abhandlung giebt der Verfasser einige der Hauptsätze über die Integration in der complexen Zahlenebene an, und sucht darzuthun, dass man hierbei von den conjugirten Curven mit Vorteil Gebrauch machen kann.

Full Text: EuDML