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Sur la représentation analytique des figures planes et leur segmentation. (French) JFM 22.0696.02
Sind \(x\) und \(y\) die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes \(M\), und ist \(O\) der Anfangspunkt des Systems, so ist die Lage des Punktes \(M\) bestimmt durch die Aequipollenz \[ OM = x+iy. \] Setzt man hierin \(x = \varphi_1(t)\), \(y = \varphi_2(t)\), so beschreibt \(M\) bei veränderlichem \(t\) die Curve, deren Gleichung \(y = F(x)\) sich durch Elimination von \(t\) zwischen den letzteren Gleichungen ergiebt. Nimmt man nun, um eine vollständige geometrische Darstellung der Gleichung \(y = F(x)\) zu erhalten, für die unabhängige Variable \((x)\) das Wertgebiet \(-\infty\) bis \(+\infty\) in Anspruch, so decken sich die den verschiedenen analytischen Darstellungen entsprechenden geometrischen Gebilde nur teilweise, da beim Uebergange zu einer neuen Variable auch deren Grenzwerte andere sind als vorher. Ausserdem können in der Aequipollenz imaginäre Werte von \(y\) auf reelle Punkte \(M\) führen, die aus der gewöhnlichen Curvengleichung nicht hervorgehen. So kann die Aequipollenz überschüssige Linien, vielfache, sich überdeckende Curven statt einer einzigen liefern, aber auch unter Umständen nur einen Teil der durch die gewöhnliche Gleichung vollständig dargestellten Curve. Letzteren Umstand benutzt der Verfasser, um durch das Verfahren der “Segmentirung” Curvenbogen von beliebiger Begrenzung, Strecken und Polygone durch Aequipollenzen darzustellen. Zu diesem Zwecke wird eine neue Variable \(\tau\) so bestimmt, dass einer gegebenen Variation von \(t\) zwischen \(t_1\) und \(t_2\) eine solche von \(\tau\) zwischen \(-\infty\) und \(+\infty\) entspricht. Das Verfahren, in der Tendenz an einen längst vergessenen Versuch des Prager Professors Doppler erinnernd, lässt sich auch auf den Raum ausdehnen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML