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Sur un système de courbes orthogonales et homofocales. (French) JFM 22.0704.01

Der Verfasser betrachtet die durch eine Differentialgleichung \[ A \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2B\;\frac{dy}{dx} + C=0 \] definirte Curvenschar, deren Discriminante \[ R=B^2-AC=0 \] bekanntlich entweder die Einhüllende oder den Ort der singulären Punkte der Curven der Schar darstellt. Wenn die Curven der Schar ein orthogonales System bilden und eine Enveloppe besitzen, so sind sie homofocal. Die Umkehrung gilt nicht, wie der Verfasser an dem Beispiel der durch die Gleichung \[ \frac{x^2}{\lambda.f-a}+\frac{y^2}{\lambda.f-b}=1 \] dargestellten Curvenschar zeigt, wo \(\lambda\) ein veränderlicher Parameter und \(f\) eine Function von \(x\) und \(y\) ist, während \(a\) und \(b\) Constanten bedeuten. In der That sind diese Curven zwar homofocal, aber orthogonal nur dann, wenn \(f\) einer gewissen partiellen Differentialgleichung genügt, deren Integral nach Einführung elliptischer Coordinaten auf elliptische Integrale, im Falle \(a = 0\) auf elementare Functionen führt.
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Full Text: Numdam EuDML