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Sur une classe de courbes unicursales et sur une propriété du cercle. (French) JFM 22.0716.01

Man vergleiche die Referate in F. d. M. XIV. 1882. 542 (siehe JFM 14.0542.01) u. 543 (siehe JFM 14.0543.01) über die gleich betitelten Arbeiten des Verfassers, die hier abgedruckt sind.
Der Verfasser betrachtet zunächst Unicursalcurven \(n^{\mathrm ter}\) Klasse, welche die Eigenschaft besitzen, dass man in jeder Richtung nur eine Tangente ziehen kann, welche also die unendlich ferne Gerade als \((n-1)\)-fache Tangente besitzen. Diese Curven entstehen durch Bewegung einer Geraden, welche auf \(n\) gegebenen Geraden von gegebenen Anfangspunkten aus Stücke abschneidet, die durch eine lineare Relation verbunden sind; sie besitzen auch die Eigenschaft, dass zwischen den von \(n+1\) festen Tangenten auf einer veränderlichen Tangente abgeschnittenen Segmenten eine lineare Relation besteht. Das einfachste Beispiel dieser Curven bietet die Parabel dar. Durch Projiciren erhält der Verfasser analoge Sätze über Curven \(n^{\mathrm ter}\) Klasse, welche irgend eine \((n-1)\)-fache Tangente besitzen, speciell wieder über Kegelschnitte. – Es werden dann Unicursalcurven betrachtet, bei welchen man im allgemeinen in jeder Richtung zwei Tangenten ziehen kann; diese Curven entstehen durch Bewegung einer Geraden, welche mit \(n\) festen Geradenpaaren Dreiecke einschliesst, deren Umfangsumme constant ist. Die diesbezüglichen Sätze sind Analoga eines bekannten Satzes über den Kreis. Die Anzahlbestimmung der Dreiecke für Curven von gegebener Klasse führt auf Probleme aus der Theorie der binären Formen. Der Zusammenhang mit dieser Theorie erklärt sich auch daraus, dass diese Curven in Bezug auf einen Kreis die reciproken Polaren derjenigen Curven sind, welche in Polarcoordinaten durch die Gleichung \(\varrho=f(\cos \omega,\sin \omega)\) dargestellt werden, wo \(f\) eine rationale Function bedeutet.
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Full Text: DOI Numdam EuDML