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Ueber ein System linearer Gleichungen, welches in Verbindung mit einer ebenen Curve dritter Ordnung auftritt. (German) JFM 22.0733.02
Wenn \(f=a_x^3=b_x^3\) eine ternäre kubische Form ist und \(H=h_x^3\) ihre Hesse’sche Covariante bedeutet, so verschwindet bekanntlich die Contravariante \((ah u)^3\) identisch für alle Werte \(u\). Da \((ab u)^3\) ebenfalls identisch 0 ist, so folgt, dass, wenn \(P=\varrho_x^3\) eine kubische Form mit unbestimmten Coefficienten bedeutet, die Identität \((a \varrho u)^3=0\) unendlich viele Lösungen, nämlich die Lösungen \(P=f+\lambda h\) für beliebige Parameter \(\lambda\) zulässt. Dieses Resultat wird in der vorliegenden Note direct mit Hülfe eines Satzes aus der Determinantentheorie abgeleitet. Setzt man nämlich alle Coefficienten der Contravariante \((a \varrho u)^3\) einzeln gleich 0, so erhält man 10 lineare Gleichungen für die 10 Coefficienten der zu bestimmenden Form \(P\). Die Determinante dieser linearen Gleichungen erweist sich als schief symmetrisch, und da dieselben jedenfalls eine Lösung, nämlich \(P = f\); zulassen und somit jene Determinante 0 ist, so sind notwendig auch alle ersten Unterdeterminanten gleich 0.
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