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Klassification der algebraischen Strahlensysteme. (German) JFM 22.0818.01
Der Verfasser zeigt hier, wie mit Hülfe von vier unabhängigen Zahlen eine Klassification der Strahlensysteme aufgestellt werden kann, und dass alle übrigen für das Strahlensystem und seine covarianten Gebilde wichtigen Charaktere aus den gegebenen vier Zahlen berechnet werden können. Diese Zahlen sind folgende:
1) \(n\), der “Grad”, die Zahl der Strahlen durch einen Punkt;
2) \(k\), die “Klasse”, die Zahl der Strahlen in einer Ebene;
3) \(\varrho\), die “Art”, die Zahl der Strahlenpaare des Systems, welche mit einer gegebenen Geraden in einer Ebene liegen und zugleich durch einen Punkt gehen;
4) \(t\), die Anzahl der Strahlentripel (Strahlentripel ist eine Zusammenstellung von drei Strahlen in einer Ebene und durch einen Punkt), deren Tripelpunkte in derselben Ebene liegen, und deren Tripelebenen zugleich durch denselben in jener gelegenen Punkt gehen.
Die Resultate werden erhalten mit Hülfe der Abbildung des Geradenraumes \(\mathfrak M\) auf die vierdimensionale lineare Punktmannigfaltigkeit \(M\). Die Geraden des Raumes \(\mathfrak M\) werden bestimmt durch ihre Spuren in zwei festen Ebenen \({\mathfrak E}_1\) und \({\mathfrak E}_2\). Zur Bestimmung des Punktes im vierdimensionalen Raume \(M\) werden die Ebenenbündel \((g_1)\) und \((g_2)\) durch zwei Gerade \(g_1\) und \(g_2\) benutzt. Ist nun \({\mathfrak E}_1\) collinear zu \((g_1)\), \({\mathfrak E}_2\) zu \((g_2)\), und zwar jedesmal so, dass der Schnittgeraden \(s\) von \({\mathfrak E}_1\) und \({\mathfrak E}_2\) der die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) verbindende Raum dritter Dimension entspricht, so ist jeder Geraden von \(\mathfrak M\) ein Punkt in \(M\) zugeordnet. Die \(s\) schneidenden Strahlen werden dann auf eine zweidimensionale Fläche zweiter Ordnung \(\varPhi\) in \(M\) abgebildet. Jedem Punkte derselben entsprechen \(\infty^1\) Strahlen in \(\mathfrak M\). Jedem linearen Raume dritter Dimension in \(M\) entspricht ein linearer Complex in \(\mathfrak M\). Es findet sich weiter: Ein Raum \(n^{\mathrm ten}\) Grades \(R^n\) in \(M\) ist das Bild eines Complexes \(n^{\mathrm ten}\) Grades in \(\mathfrak M\), welcher den Strahl \(s\) \(n\)-fach enthält, während der allgemeine Complex \(n^{\mathrm ten}\) Grades in \(\mathfrak M\) sich als ein Raum \((2n)^{\mathrm ten}\) Grades abbildet, welcher \(\varPhi\) \(n\)-mal enthält. Einem Strahlensysteme \(n^{\mathrm ten}\) Grades \(k^{\mathrm ter}\) Klasse in \(\mathfrak M\) entspricht in \(M\) eine Fläche \((n+k)^{\mathrm ter}\) Ordnung, welche \(\varPhi\) schneidet nach einer Curve \((n+k)^{\mathrm ter}\) Ordnung. Auf jeder Geraden \(\sigma_1\) der einen Schar von \(\varPhi\) liegen \(n\), auf jeder Geraden \(\sigma_2\) der zweiten Schar \(k\) Punkte dieser Curven. Auf die Eigenschaften dieser Fläche \(F_{n+k}\) kommt nun alles an. Die Zahl \(\varrho\) wird z. B. gefunden durch Betrachtung des Kegels, dessen Spitze auf \(\varPhi\) liegt, und dessen Strahlen Sehnen von \(F_{n+k}\) sind.
Ist das Strahlensystem der vollständige Schnitt zweier Complexe \(\mu^{\mathrm ten}\) und \(\nu^{\mathrm ten}\) Grades, so wird gefunden: \[ \varrho=\mu \nu(\mu-1)(\nu-1), \]
\[ 3t=\mu \nu \{ 3\mu^2 \nu^2-6\mu \nu (\mu+\nu) + 2 \nu^2+ 2\mu^2 + 9 \mu \nu - 4\}. \] Im allgemeinen zeigt sich, dass Ordnung und Klasse der Brennfläche von \(t\) unabhängig sind, aber die Ordnung der Rückkehrcurve sowie der Doppelcurve dieser Fläche von \(t\) abhängt. Diese Charaktere, sowie die analogen für den Ort der Tripelpunkte werden berechnet. Als Beispiel zur Prüfung der Formeln wird das Strahlensystem betrachtet, welches durch eine Cremona’sche Verwandtschaft \(k^{\mathrm ter}\) Ordnung zwischen \({\mathfrak E}_1\) und \({\mathfrak E}_2\) entsteht.

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