×

Sur le déplacement d’une figure invariable. (French) JFM 22.0862.02

Ein Umdrehungscylinder \(C\) rolle in einem zweiten Umdrehungscylinder \(C'\), dessen Radius die doppelte Grösse hat, und gleite gleichzeitig längs der erzeugenden Geraden von \(C'\). Unterwirft man die Bewegung von \(C\) noch der Bedingung, dass ein Punkt seiner Fläche eine Gerade beschreibe, welche notwendiger Weise durch die Axe von \(C'\) gehen muss, so ist die Bewegung von \(C\) vollkommen bestimmt, und jeder mit \(C\) starr verbundene Punkt beschreibt einen Kegelschnitt. Diese Bewegung ist die allgemeinste, bei welcher alle Punkte des starren Gebildes Ellipsen beschreiben, und zwar ist es, wenn man den Fall ausschliesst, bei welchem der Körper parallel einer festen Ebene verschoben wird, die einzige, bei welcher alle Punkte des starren Gebildes ebene Curven beschreiben. Der Beweis hierfür wird in geistvoller Weise aus kinematischen Gesichtspunkten mit Hülfe des Princips der inversen Bewegung geführt.
Bei der Bewegung eines starren ebenen Gebildes in seiner Ebene giebt es eine Bewegung, bei welcher alle Punkte Ellipsen beschreiben; im Raume giebt es dagegen keine Bewegung, bei der alle Punkte des Raumes Flächen zweiten Grades beschreiben, vielmehr treten an ihre Stelle in gewissem Sinne Steiner’sche Flächen, das heisst: Es existirt eine Bewegung eines starren Gebildes im Raume, bei welcher alle Punkte Steiner’sche Flächen beschreiben. Zehn besondere Punkte des beweglichen Gebildes beschreiben bei dieser Bewegung Ebenen. Wenn man die Bewegung noch gewissen besonderen Bedingungen unterwirft, so kann es vorkommen, dass die Punkte von zwei Geraden Ellipsoide beschreiben. In diesem Falle giebt es, wenn man imaginäre Elemente zulässt, ein Tetraeder mit höchstens zwei reellen Seiten, welches folgende Eigenschaften darbietet:
Jeder Punkt ausserhalb der Seitenflächen beschreibt eine Steiner’sche Fläche, jeder Punkt, welcher in einer Seitenfläche, aber ausserhalb der Kanten gelegen ist, eine Regelfläche dritter Ordnung, jeder Punkt endlich, welcher auf einer der Kanten sich befindet, durchläuft eine Fläche zweiter Ordnung oder eine Ebene.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Numdam EuDML