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Sur l’oscillation de la vitesse angulaire dans le mouvement d’un corps solide libre. (French) JFM 22.0869.01
Es bewege sich ein Ellipsoid um seinen Mittelpunkt derart, dass es auf einer festen Berührungsebene, ohne zu gleiten, rollt, und zwar sei die Winkelgeschwindigkeit in jedem Augenblick proportional dem Richtstrahl nach dem Berührungspunkte. Ist das Ellipsoid ein Trägheitsellipsoid, so sind die nach der Grösse geordneten Halbaxen der Bedingung unterworfen \(\frac{1}{c^2}< \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\), und aus dieser wird bekanntlich geschlossen, dass die Herpolodie, d. i. die Bahn des Berührungspunktes in der Berührungsebene, keine Inflexionspunkte besitzt. In der vorliegenden Arbeit zieht der Verf. aus jener Bedingungsgleichung eine andere Folge. Entspricht der Richtstrahl \(R'\) der kleinsten Winkelgeschwindigkeit und \(R''\) der grössten, so ist \(\varrho=\frac{R'}{R''}\), also ist das Verhältnis der kleinsten zur grössten Winkelgeschwindigkeit bei einem ganz beliebigen Ellipsoid in den Grenzen eingeschlossen \[ 1>\varrho^2> \frac{b^2}{a^2b^2-c^2(a^2-b^2)}, \] und die untere Grenze kann beliebig klein werden, wenn \(b\) und \(c\) hinlänglich klein gegen \(a\) gewählt werden. Wenn dagegen ein Trägheitsellipsoid gewählt wird, so hält sich \(\varrho^2\) innerhalb der Grenzen \[ 1> \varrho^2> \frac{a^2+b^2}{2a^2}, \] und die untere Grenze kann nicht unter \(\frac 12\) herabsinken. Es liegt demnach in diesem Falle \(\varrho\) zwischen 1 und \(\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\) Da \(\frac{1}{\sqrt 2}\) angenähert \(\frac{7}{10}\) ist, so kann die Winkelgeschwindigkeit bei der Rotation eines festen Körpers um einen Punkt nur zwischen engen Grenzen variiren, und zwar erreicht die grösste Veränderung der Winkelgeschwindigkeit noch nicht \(\frac{3}{10}\), also noch nicht ein Drittel ihres Maximalwertes.
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Full Text: DOI Numdam EuDML