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Sur une transformation de mouvement. (French) JFM 22.0896.01

Add. de l’Éc. Norm. (3) VII. 361-374 (1890).
Es seien \(S\) und \(S_1\) zwei Flächen, und man lasse einem reellen Punkte der ersten einen reellen Punkt der zweiten entsprechen. Nach Tissot entspricht einem orthogonalen Liniensysteme der einen Fläche ein orthogonales System der anderen Fläche. Auf diese beiden orthogonalen Systeme mögen die Elemente der Flächen bezogen werden, so dass die Linienelemente von \(S\) und \(S_1\) sich in den Formen darstellen: \[ ds^2 - Edu^2+Gdv^2;\quad ds_1^2=E_1 du^2+G_1 dv^2. \] Die Bewegung eines Punktes von der Masseneinheit auf der Fläche \(S\) sei in der Form von Lagrange beschrieben durch \[ \begin{aligned} & \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial u'} \right) - \frac{\partial T}{\partial u} = P; \quad u'=\frac{du}{dt}; \\ & \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial v'} \right) - \frac{\partial T}{\partial v} = Q; \quad v'=\frac{dv}{dt}; \end{aligned} \quad 2T=Eu'{}^2 + Gv'{}^2, \] wo \(P\) und \(Q\) nur von \(u\) und \(v\) abhängen.
Ein zweiter Punkt, dessen Masse gleichfalls die Einheit sei, bewege sich auf der Fläche \(S_1\), und es seien seine Coordinaten Functionen einer neuen Variable \(t_1\), welche an \(t\) durch die Gleichung \(dt_1 = \lambda(u, v)dt\) geknüpft sein mag. Die Bewegung des zweiten Punktes wird alsdann bestimmt durch das Gleichungssystem: \[ \begin{aligned} & \frac{d}{dt_1} \left( \frac{\partial T_1}{\partial u_1'} \right) - \frac{\partial T_1}{\partial u} = P_1; \quad u_1'=\frac{du}{dt_1}; \\ \frac{d}{dt_1} \left( \frac{\partial T_1}{\partial v_1'} \right) - \frac{\partial T_1}{\partial v} = Q_1; \quad v_1'=\frac{dv}{dt_1}; \end{aligned} \quad 2T_1=E_1u_1'{}^2 + G_1v_1'{}^2, \] und es entsteht nunmehr die Frage: Ist es möglich, die Function \(\lambda\) derart zu bestimmen, dass \(P_1\) und \(Q_1\) unabhängig sind von \(u_1'\) und \(v_1'\), also nur abhängig, wie in dem obigen System, von \(u\) und \(v\)?
Die Analyse dieser Frage führt den Verfasser auf sechs Bedingungsgleichungen zwischen \(\lambda,E,G,E_1,G_1\) und den ersten partiellen Derivirten dieser Grössen nach \(u\) und \(v\). Von diesen sechs Bedingungsgleichungen enthalten vier die Grösse \(\lambda\) und ihre Derivirten nicht. Die vier sind notwendige und ausreichende Bedingungen, dass das gestellte Problem überhaupt eine Lösung zulässt, und ihre Form lässt erkennen, dass in ihnen diejenigen Bedingungen sich darstellen, welche ausdrücken, dass die geodätischen Linien beider Flächen sich entsprechen. Sind diese Bedingungen erfüllt, so führt die Integration dieser vier letzten Gleichungen nach Darboux (Leçcons sur la théorie générale des surfaces) auf die Gleichung \(\frac{E}{E_1}= VU^2\), wo \(V\) eine Function von \(v\) und \(U\) eine Function von \(u\) ist. Mit Hülfe dieser Gleichung wird für \(\lambda\) die Form gewonnen \(\lambda=\frac{k}{VU}\), in welcher \(k\) eine Constante bedeutet.
Dem besonderen Fall, dass die eine Fläche eine Ebene wird, ist der zweite Teil der Arbeit gewidmet. Die Bewegung eines Punktes in der Ebene sei durch die Gleichungen gegeben \[ (1)\quad \frac{d^2x}{dt^2}=X,\quad \frac{d^2y}{dt^2}=Y, \] und es werde vorausgesetzt, dass \(X\) und \(Y\) nur Functionen der rechtwinkligen Coordinaten \(x\) und \(y\) seien. Bezieht man die zweite Fläche auf ein System krummliniger Coordinaten, welches durch eine Schar geodätischer Linien und deren rechtwinklige Trajectorien gebildet ist, so ist der Ausdruck für ein Linienelement \(ds^2 = du^2 + C^2dv^2\). Auf dieser Fläche bewege sich ein Punkt von der Masse = 1 gemäss den Gleichungen: \[ (2)\quad \begin{cases} \frac{d}{dt_1} \left( \frac{\partial T}{\partial u'} \right) - \frac{\partial T}{\partial u} = P; \quad u'=\frac{du}{dt_1}; \\ \frac{d}{dt_1} \left( \frac{\partial T}{\partial v'} \right) - \frac{\partial T}{\partial v} = Q; \quad v'=\frac{dv}{dt_1}; \end{cases} \quad 2T=u'{}^2 + v'{}^2, \] und es handelt sich nunmehr um die Aufgabe, die Transformationen von der Form \[ x = f(u,v);\quad y = \varphi(u,v);\quad dt_1 = \lambda(u,v)dt \] so zu bestimmen, dass die Gleichungen (1) sich in die Gleichungen (2) umbilden mit der Bedingung, dass \(P\) und \(Q\) unabhängig sind von \(u'\) und \(v'\).
Die Untersuchung führt wieder zu sechs Bedingungsgleichungen, und diese vereinfachen sich durch die Annahme, dass die Schar geodätischer Linien von dem Punkte ausgehe, welcher auf der Fläche dem Punkte \(x = 0\), \(y = 0\) entspricht. Aus diesen Gleichungen wird als eine notwendige Folge hergeleitet \[ - \frac 1C\;\frac{\partial^2C}{\partial u^2} = \text{const.,} \] und da dieser Ausdruck das Krümmungsmass der Fläche darstellt, so ist die gesuchte Transformation nur ausführbar, wenn die gegebene Fläche eine constante Krümmung besitzt. Es wird nunmehr diese Eigenschaft der Fläche vorausgesetzt und die vollständige Darstellung der Functionen \(f, \varphi, t\) gegeben für die drei Fälle, dass die Krümmung Null, positiv oder negativ ist. Ihre Formen zeigen wieder, dass die Transformationen solche sind, welche die Geraden der Ebene in geodätische Linien der Fläche überführen.

Full Text: Numdam EuDML