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Ueber die Euler’schen Bewegungsgleichungen und über eine neue particuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt. (German) JFM 22.0920.01
Die im Titel genannten Gleichungen werden zunächst mit Hülfe ihrer bekannten Integrale auf ein System dreier Gleichungen erster Ordnung reducirt, denen folgende Deutung gegeben wird. Es sei \(O\) der feste Punkt, \(ON\) die Axe des die Bewegung erzeugenden Momentankräftepaars und die Länge \(ON=\sqrt \nu\) gleich der Grösse des Paars, \(OT\) die Axe der instantanen Drehung und \(OT=\sqrt \tau\) die Grösse der Drehgeschwindigkeit, \(OZ\) die Verticale, die Länge \(OZ = 1\), \(OS\) die Figuraxe (Richtung nach dem Schwerpunkte) und \(OS=1\), ferner \(P\) das Maximalmoment der Schwere auf den Körper, \(\mu_1\) die Grösse der lebendigen Kraft, \(\varrho\) die Componente des Kräftepaars nach der Richtung \(OS\); dann ist \(\tau\) leicht durch \(\nu,\varrho\) und \(\mu_1\) auszudrücken, und es sind \(\frac{1}{2P} \frac{d\nu}{dt}, \frac{d \varrho}{dt}, \frac{d\mu_1}{dt}\) bez. gleich der sechsfachen Pyramide \(OZNS\) oder \(ONST\) oder \(OSTZ\). Dieses System von Gleichungen für \(\nu,\varrho,\mu_1\) besitzt singuläre Lösungen; letztere führen jedoch nur unter speciellen Voraussetzungen über die Gestalt des Körpers zu particulären Lösungen der Euler’schen Gleichungen. Der Verfasser findet: Liegt der Schwerpunkt in einer Hauptebene durch den festen Punkt, und ist, unter \(A, B, C, G\) die Trägheitsmomente des Körpers um die zwei Hauptaxen in jener Hauptebene, um die dritte Hauptaxe und um die Figuraxe verstanden, \(AB = CG\), so können die Euler’schen Gleichungen, wenn die Axe des die Bewegung erzeugenden Kräftepaars horizontal und senkrecht zur Figuraxe ist, vollständig mittels elliptischer Functionen gelöst werden. In der Einleitung wird diese Lösung des Rotationsproblems den drei bisher bekannten zur Seite gestellt; doch bemerkt der Verfasser selbst, dass diese Lösung Voraussetzungen über den Anfangszustand der Bewegung erheischt, was bei jenen dreien bekanntlich nicht der Fall ist.

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