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Sur les équations aux dérivées partielles de la physique mathématique. (French) JFM 22.0977.03
In der Einleitung wird die “Familienähnlichkeit” aller Probleme der mathematischen Physik gekennzeichnet und die Frage erörtert, welchen Wert in diesem Felde absolute mathematische Strenge hat. – \(\S\) 1 bringt eine neue, sehr einfache Methode zum strengen Nachweis des Dirichlet’schen Princips. Sie basirt darauf, 1) dass man positive Massen in einer Kugel immer in bestimmter Weise durch Massen auf der Oberfläche ersetzen (es wird dafür gesagt, die Kugel “auskehren”) kann mit der Wirkung, dass das Potential für jeden äusseren Punkt sich nicht ändert, für jeden inneren vermindert wird, 2) auf einem von Harnack aufgestellten Convergenzsatze über unendliche Reihen mit positiven Potentialen als Gliedern, und endlich auf folgendem neuen Satze: Ist ein Körper \(K\) gegeben, so kann man immer (auf mannigfache Weise) eine unendliche Reihe von Kugeln \(S_1,S_2,S_3,\dots\) finden, sodass jede Kugel ganz ausserhalb \(K\) liegt und jeder Punkt ausserhalb \(K\) mindestens einer der Kugeln angehört. Denkt man sich nun eine Kugel \(\varSigma\) die \(K\) ganz im Innern enthält, ihr Radius sei \(R\), und auf ihrer Oberfläche die Masse \(R\) gleichmässig verteilt, und kehrt nun der Reihe nach \(S_1,S_2,S_1,S_2,S_3,S_1,S_2,S_3,S_4,\dots\) aus, so convergirt das Potential \(V_n\) derjenigen Verteilung, die man nach \(n\) dieser Operationen hat, in jedem Punkte mit wachsendem \(n\) nach einem bestimmten Grenzwerte \(V\), und diese Function \(V\) löst das Problem der elektrostatischen Verteilung auf der Oberfläche von \(K\). Dabei war zunächst vorausgesetzt, dass in jedem Punkte dieser Oberfläche die Tangentialebene und die zwei Hauptkrümmungsradien völlig bestimmt sind; es dürfen aber auch eine endliche Anzahl konischer Punkte auf der Oberfläche von \(K\) liegen. Die Methode lässt sich auch zum directen Beweise des Dirichlet’schen Princips verwenden.
Weiter wird das Fourier’sche Problem der Erkaltung eines Körpers in Angriff genommen. Es ist eine Function \(V\) zu finden, die im Innern eines Körpers der Gleichung \(\frac{\partial V}{\partial t}=a^2\varDelta V\), an der Oberfläche der Gleichung \(\frac{\partial V}{\partial n}+hV=0\) genügt; \(a^2\) und \(h\) sind bestimmte positive Constanten. Die Lösung, die gegeben wird, lässt, wie der Verfasser bemerkt, dieselben Einwände wie Riemann’s Beweis des Dirichlet’schen Princips zu. Es bedeute \(d \tau\) das Volumen-, \(d \omega\) das Oberflächen-Element des Körpers; es werde \[ \begin{aligned} & A=\int F^2 d \tau,\quad C=\int FG d \tau,\\ & B=h\int F^2 d \omega+ \int \left(\left( \frac{\partial F}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial z} \right)^2 \right) d \tau\end{aligned} \] gesetzt, unter \(F\) und \(G\) Functionen von \(x,y,z\) verstanden, die Integrale über den ganzen Körper erstreckt. Es sei \(U_1\) diejenige Function \(F\), für welche \(A = 1\), \(B\) ein Minimum ist; \(U_2\) diejenige Function \(F\), für welche \(A = 1\), \(C = 0\) für \(G = U_1\) und \(B\) ein Minimum ist; \(U_3\) dasjenige \(F\), wofür \(A =1\), \(C=0\) für \(G=U_1\), \(U_2\) und \(B\) ein Minimum ist u. s. w.; ferner \(k_p\) der Wert von \(\frac BA\) für \(U_p\). Es genügt dann \(U_p\) den Gleichungen \[ \begin{aligned} & \varDelta U_p+k_pU_p=0 \quad \text{(im Innern)},\\ & \frac{\partial U_p}{\partial n}+h U_p=0 \quad \text{(an der Oberfläche)}.\end{aligned} \] Man hat immer \(k_{p+1} > k_p\) (für \(>\) kann hier unter Umständen auch = eintreten), ferner stets \(\frac{\partial k_p}{\partial h}>0\), \(\frac{dk_p}{k_p} < \frac{dh}{h}\), weiter, wenn \(h > 0\) ist, \(k_p > 0\). Es zeigt sich weiter für \(h = 0\) und damit auch für alle \(h > 0\), zuerst bei Körpern, die sich in eine endliche Anzahl Parallelepipeda, dann weiter bei convexen Körpern und solchen, die sich in eine endliche Anzahl convexer zerlegen lassen, dass \(k_p\) mit wachsendem \(p\) über alle Grenzen wächst.
Nun wird erwähnt, dass die gesuchte Function \(V\) im allgemeinen nicht nach Potenzen von \(t\) entwickelt werden kann, und es wird darauf aufmerksam gemacht, mit welcher Vorsicht bei partiellen Differentialgleichungen zu verfahren ist. – Für \(t=0\) soll \(V\) gegeben sein. Es sei \(A =\int V^2 d \tau\) und \(A_0\) der Wert von \(A\) für \(t = 0\), so ergiebt sich \(A < A_0 e^{-2ak_1t}\) und damit \(\lim A=0\) für \(t=\infty\); ferner ist \(A\, \frac{dB}{dt} - B \,\frac{dA}{dt}<0\), das \(B\) für \(F= V\) genommen. Es sei \(J_p=\int VU_p d \tau\) und \(J_p^0\) der Wert von \(J_p\) für \(t=0\), so findet man \(J_p=J_p^0r^{-a^2k_pt}\). Es sei \(V_0\) die Temperatur \(V\) zur Zeit \(t = 0\). Macht man den Ansatz \[ V_0=A_1U_1+A_2U_2+\cdots +A_pU_p+R_0, \] so wird \(S_0 = \int R_0^2 d \tau\) ein Minimum, was als besonders günstige Bestimmung von \(A_1, A_2, \dots, A_p\) betrachtet wird, wenn man allgemein \(A_m = J_m^0 = \int V_0 U_m d \tau\) nimmt.
Setzt man dann \[ V_1=J_1U_1+J_2U_2+\cdots+J_pU_p+R, \] so kann man immer \(p\) so gross wählen, dass in einem gegebenen Augenblick \(S=\int R^2 d \tau\) so klein wird, wie man will; denn man findet \(S<S_0e^{-a^2k_{p+1}t}\). Es convergirt also \(S\) gegen 0; von \(R\) ist dieses nicht bewiesen, doch damit physikalisch höchst wahrscheinlich gemacht.
Von den mannigfachen weiteren Eigenschaften, welche für die \(U_p\) nachgewiesen werden, und welche Analoga zu Eigenschaften von Potentialfunctionen darstellen, sei erwähnt, was nicht leicht festzustellen ist, dass diese Functionen im ganzen Körper, nicht allein im Innern, stetig sind; dabei wird vorausgesetzt, der Körper lasse sich in eine endliche Anzahl convexer Körper zerlegen. – Es wird schliesslich darauf aufmerksam gemacht, dass die Fourier’sche Differentialgleichung ja aus Differenzengleichungen hervorgegangen ist, welche den Wärmeaustausch zwischen einer endlichen Anzahl von Molecülen bestimmen, und dass somit die Schwierigkeiten bei Behandlung des Problems der Erkaltung unter Zugrundelegung der Differentialgleichung nur erkünstelte sind. Es wird untersucht, was den Functionen \(U\) bei den Differenzengleichungen entspricht, und dies giebt Gelegenheit, die Bedeutung der Aufgabe, eine quadratische Form in eine Summe von Quadraten zu zerlegen, für die Physik eingehend zu erörtern.

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