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Mémoire sur l’optique: Influence du terme de dispersion de Briot sur les lois de la double réfraction. (French) JFM 22.1038.01

Ann. de l’Éc. Norm. (3) VII, Suppl., 3-123 (1890); Auch als besondere Schrift: Paris, Gauthier-Villars (1890).
Der erste Abschnitt der umfangreichen Abhandlung betrifft die verschiedenen Methoden zur numerischen Berechnung der in den Dispersionsformeln auftretenden Constanten. Zuerst wird die Interpolationsmethode auseinander gesetzt, mittels welcher Cauchy die Constanten seiner Dispersionsformel aus den Fraunhofer’schen Beobachtungen berechnet hat. Sodann wird gezeigt, wie man durch Hinzufügung geeigneter Factoren in den jedes Mal zu addirenden Gleichungen das Cauchy’sche Verfahren verallgemeinern und dadurch zu denselben Formeln gelangen kann, welche die Methode der Kleinsten Quadrate ergiebt, und zwar sowohl für den Fall, dass alle Messungen gleiches Gewicht haben, als auch wenn die Gewichte der einzelnen Messungen verschieden sind. Dabei wird die Rechnung dadurch vereinfacht, dass für die Factoren, mit denen die einzelnen Gleichungen zu multipliciren sind, nicht die strengen, durch die Methode der kleinsten Quadrate geforderten Werte genommen werden, sondern Näherungswerte. Ebenso werden die Gewichte der einzelnen Messungen durch angenäherte Zahlen ersetzt. Welchen Einfluss diese Ersetzung genauer Zahlen durch angenäherte hat, wird eingehend erörtert. Die verschiedenen Methoden werden angewandt zur Berechnung der Constanten der Dispersionformel für den ordentlich gebrochenen Strahl im Quarz. Die den Rechnungen zu Grunde gelegte Dispersionformel ist: \[ (1)\qquad \frac1{n^2}=a+bl^{-2}+cl^2, \] worin \(n\) den Brechungsindex, \(l=\frac{\lambda}n\) die Wellenlänge innerhalb des Krystalls bezeichnet. Aus Beobachtungen, die Macé de Lépinay (Journ. de phys. 1887) für zehn Werte von \(\lambda\) innerhalb des sichtbaren Farbenspectrums angestellt hat, werden die Constanten \(a,b,c\) berechnet einmal nach der Methode von Cauchy, sodann nach der Methode der kleinsten Quadrate unter der Annahme, dass den Einzelbeobachtungen gleiches Gewicht zukommt, endlich nach der Methode von Gauss (d. h. nach der Methode der kleinsten Quadrate mit Berücksichtigung des Gewichts der Einzelmessungen). Die Resultate der Rechnung werden mit Beobachtungen von Mouton, die sich auf den ultraroten Teil des Spectrums beziehen (C. R. LXXXIII. 1879), verglichen. Die Abweichungen zwischen den beobachteten und den berechneten Werten sind am geringsten bei Zugrundelegung der nach der Gauss’schen Methode berechneten \(a,b,c\), am grössten für die nach der Methode der kleinsten Quadrate berechneten. Für den ausserordentlichen Strahl des Quarzes führen die Gauss’sche und die Cauchy’sche Methode zu denselben Werten von \(a,b,c\); und die mittels dieser Methode berechneten Zahlen für \(n\) stimmen mit den Beobachtungen viel besser überein, als bei der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate.
Im zweiten Abschnitt rechtfertigt der Verfasser die Einführung des Gliedes \(cl^2\) (des sogenannten Briot’schen Termes) in die Dispersionsformel (1). Messungen von Mouton und Langley, die den Brechungsexponenten der ultraroten Strahlen in Quarz und Steinsalz betreffen, seien durch eine Formel, in der jenes Glied fehlt, nicht darstellbar. Er berechnet dann verschiedene Beobachtungen nach Formel (1) resp. nach der durch Hinzufügung des Gliedes \(dl^{-4}\) erweiterten Formel (1) und legt sich die Frage vor: welches Glied muss man in der Differentialgleichung der einfachen Schwingungen \[ (2) \qquad \frac{\partial^2 u} {\partial t^2}=A\;\frac{\partial^2 u} {\partial x^2} \] rechts einführen, um einen Terme \(\lambda^{-p+z}n^{q-2}\) in der Dispersionsformel zu erhalten? Es ergiebt sich, dass zu diesem Zwecke auf der rechten Seite von (2) ein Summand von der Form \[ K\;\frac{\partial^p u} {\partial x^q\partial t^{p-q}} \] hinzutreten muss. Den Briot’schen Term der Dispersionsformel erhält man daher, wenn man auf der rechten Seite von (2) ein Glied von der Form \(G.u\) hinzufügt, wo \(G\) eine Constante ist.
Der dritte Abschnitt handelt von dem Einfluss des Briot’schen Termes der Dispersionsformel auf die Doppelbrechung. Um diesen Einfluss zu ermitteln, wird folgendes Verfahren eingeschlagen: die Differentialgleichungen für die Lichtbewegung in einem Krystall seien ohne Berücksichtigung der Dispersion: \[ (3)\qquad \frac{\partial^2 \xi} {\partial t^2}=F,\quad \frac{\partial^2 \eta} {\partial t^2}=F_1,\quad \frac{\partial^2 \zeta} {\partial t^2}=F_2, \] wo \(F,F_1,F_2\) von den zweiten partiellen Ableitungen der \(\xi,\eta,\zeta\) nach den Coordinaten abhängen, und zwar in verschiedener Weise, je nach der zu Grunde gelegten Theorie. Bei Berücksichtigung des Gliedes \(cl^2\) der Dispersionsformel, und zwar dieses Gliedes allein, sind die Gleichungen (3) nach dem oben Gesagten durch folgende zu ersetzen: \[ (4)\qquad \frac{\partial^2 \xi} {\partial t^2}=F-G.\xi,\quad \frac{\partial^2 \eta} {\partial t^2}=F_1-H.\eta,\quad \frac{\partial^2 \zeta} {\partial t^2}=F_2-K.\zeta. \] Für die Functionen \(F,F_1,F_2\) werden nun zunächst diejenigen Ausdrücke gesetzt, welche Lamé in seiner Elasticitätstheorie ableitet, und die bekanntlich zu der Neumann’schen Anschauung über die Lage der Polarisationsebene führen. Es wird untersucht, welche Modification die aus (3) sich ergebenden Gesetze der Doppelbrechung durch Hinzufügung der Glieder \(G.\xi\) etc. erfahren. Bei einaxigen Krystallen ergeben sich aus (4) für die Quadrate der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des ordentlichen und ausserordentlichen Strahles Ausdrücke von folgender Form: \[ (5)\qquad \begin{cases} v^2_0=a^2+(c^2\cos^2 \vartheta+c^2_1\sin^2 \vartheta)l^2,\\ v^2_e=a^2\cos^2 \vartheta +a^2_1\sin^2 \vartheta+c.l^2,\end{cases} \] falls \(\vartheta\) der Neigungswinkel der Wellennormale gegen die Axe ist. Hiernach müsste der Briot’sche Term der Dispersionsformel sich für den ordentlichen Strahl mit \(\vartheta\) ändern, während derselbe Term für den ausserordentlichen Strahl von \(\vartheta\) unabhängig wäre. Wenn man dagegen für die Functionen \(F,F_1,F_2\) die Ausdrücke von Boussinesq zu Grunde legt, so ergiebt sich, dass der Briot’sche Term für den ordentlichen Strahl von \(\vartheta\) unabhängig ist, für den ausserordentlichen Strahl aber sich mit \(\vartheta\) ändert; und zu dem gleichen Ergebnis führen die Ausdrücke, aus welchen Poincaré in seiner “Théorie mathématique de la lumière” die Fresnel’sche Theorie der Doppelbrechung ableitet. Uebrigens folgert der Verfasser auch aus rein geometrischen Ueberlegungen, dass man auf Grund der Fresnel’schen und der Neumann’schen Anschauung über die Lage der Polarisationsebene hinsichtlich der Abhängigkeit des Briot’schen Dispersionstermes von dem Winkel \(\vartheta\) zu entgegengesetzten Resultaten gelangt. Nun ergiebt sich aus Messungen, die Mascart am Kalkspat angestellt hat, dass bei diesem Krystall die Constanten der Formel (1) folgende Werte haben: für den ordentlichen Strahl ist \(a=\)0,37138, \(c=\)0,00346; für den ausserordentlichen dagegen wird \(c\) unmerklich, während \(a=\)0,45800 ist. Wäre die Neumann’sche Anschauung über die Schwingungsrichtung des polarisirten Lichtes zutreffend, so müsste \(\frac1{n^2}\) für den ordentlichen Strahl bei Veränderungen des Winkels \(\vartheta\) schon Aenderungen in der dritten Decimale erfahren, während doch die besten Beobachtungen ergeben, dass die Aenderungen von \(\frac1{n^2}\) höchstens eine Einheit in der fünften Decimale betragen. Der Verfasser schliesst daraus, dass durch seine Discussion die Unhaltbarkeit der Neumann’schen Grundanschauung bewiesen, und dass nur die Fresnel’sche Vorstellung mit den Beobachtungen verträglich sei. Referent kann diesen Beweis nicht für stichhaltig ansehen. Schon der Umstand, dass allein der Einfluss des Briot’schen Termes auf die Doppelbrechung untersucht ist, während die zu den Gleichungen (3) in Folge des Gliedes \(bl^{-2}\) hinzutretenden Terme ganz übergangen werden, giebt zu erheblichen Zweifeln an der Richtigkeit der obigen Schlussfolgerung Anlass. Abgesehen davon aber, ist nach des Referenten Ansicht das Verfahren des Verfassers an sich nicht geeignet, zu einer Entscheidung über die Frage zu führen. Denn das Verfahren besteht im Grunde darin, zu den theoretischen Formeln (3) rein empirische Glieder hinzuzufügen (eine andere Bedeutung haben die Terme \(G\xi\) etc. nicht). Aus solchen rein empirischen Gliedern aber kann man überhaupt keinen bindenden Rückschluss auf die Grundlagen ziehen, auf denen die theoretischen Formeln beruhen.
Der vierte Teil der Arbeit enthält eine ausführliche Beschreibung eigener Versuche des Verfassers über die Dispersion des Kalkspats nebst genauer Discussion über die Grösse der möglichen Beobachtungsfehler. Diese Messungen, die sich nicht nur auf den sichtbaren, sondern auch auf den ultraroten Teil des Spectrums beziehen, sind hauptsächlich zu dem Zwecke angestellt, die Grösse des Factors \(c\) der Formel (1) sowohl für den ordentlichen als den ausserordentlichen Strahl genauer festzustellen, als es die Mascart’schen Beobachtungen gestatten. Aus den neuen Beobachtungen, auf die näher einzugehen hier zu weit führen würde, wird derselbe Schluss gezogen wie oben, ein Schluss, den, wie gesagt, der Referent als beweisend nicht anerkennen kann.
Nebenbei spricht der Verfasser die Ansicht aus, dass es durch Discussion des Briot’schen Gliedes der Dispersionsformel für den ausserordentlichen Strahl vielleicht möglich sein werde, zu entscheiden, ob die Schwingungen dieses Strahles genau oder nur angenähert transversal sind, ob also der Aether incompressibel ist oder nicht. Er gelangt jedoch hinsichtlich dieser Frage zu keinem definitiven Resultat. Uebrigens würden sich hier dieselben Einwendungen erheben lassen, die oben dargelegt sind.

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