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Remarques sur la théorie générale de la figure des planètes. (French) JFM 22.1219.03

Nach einer Einleitung, in welcher die Theorie einiger von Lamé unter Zugrundelegung elliptischer Raumcoordinaten aufgestellten Functionen gegeben wird, welche als Verallgemeinerungen der Kugelfunctionen auf Ellipsoide anzusehen sind und kurz Lamé’sche Functionen genannt werden, folgt die eigentliche, in drei Capitel geteilte Arbeit.
In dem ersten wird das Potential eines heterogenen Ellipsoids in Bezug auf einen äusseren Punkt nach Lamé’schen Functionen entwickelt, wenn für die Dichtigkeit in jedem Punkte diese Entwickelung gegeben ist. Dann wird eine Anwendung auf das homogene Ellipsoid gemacht und ein sehr einfacher Ausdruck des Potentials in Lamé’schen Coordinaten aufgestellt, von dem dann nachgewiesen wird, dass er im Grunde mit der bekannten Dirichlet’schen Formel zusammenfällt. Dann werden die Trägheitsmomente in Bezug auf die drei Axen zunächst wieder eines heterogenen Ellipsoides bestimmt und nachgewiesen, dass dieses, falls die Dichte nach Lamé’schen Functionen entwickelt gegeben ist, nur von drei Coefficienten dieser Entwickelung abhängt. Darauf wird Anwendung von diesen Formeln auf einen Körper gemacht, welcher begrenzt wird von einem Ellipsoid und aus einem inneren, völlig unbekannten Kern besteht, der von einer Flüssigkeit allseitig bedeckt ist. Ausserdem wird vorausgesetzt, dass das Ellipsoid sich gleichmässig um eine Hauptaxe drehe, so dass zum Potential der Anziehung noch das der Centrifugalkraft hinzukommt und jenes Ellipsoid also eine Niveaufläche für das Gesamtpotential ist. Es ergiebt sich, dass, wie auch sonst die Verteilung der Massen in dem Kern sei, doch der Schwerpunkt mit dem Mittelpunkte und die freien Axen mit den Hauptaxen des Ellipsoids zusammenfallen müssen, dass ferner die Differenzen der Trägheitsmomente um die Hauptaxen ebenfalls von dieser Verteilung unabhängig sind. Selbstverständlich ist auch das Potential in Bezug auf alle äusseren Punkte durch Daten an der Oberfläche bestimmt, wie durch die Untersuchungen von G. G. Stokes ganz allgemein bewiesen worden ist.
Im zweiten Capitel wird eine Anwendung auf das abgeplattete Rotationsellipsoid gemacht und eine Formel für die Beschleunigung \(g\) abgeleitet, welche unter der Voraussetzung eines unbekannten Kerns für jeden Wert der Abplattung gilt und für geringe Abplattungen die bekannte Clairaut’sche Gleichung zwischen Abplattung, Unterschied der Schwere am Aequator und Pol und dem Verhältnis der Centrifugalkraft zur Anziehung am Aequator giebt. Dann wird die Formel von Clairaut und Laplace für die Differenz der Trägheitsmomente um die grosse und kleine Axe und für das Verhältnis dieser Differenz zu einem dieser Trägheitsmomente abgeleitet und unter der Annahme, dass die Dichte nach innnen niemals abnimmt, hieraus eine untere Grenze 7,39 für die Dichte im Mittelpunkte der Erde ermittelt.
Im letzten Capitel endlich wird das Theorem bewiesen, dass die Oberflächen zweier Flüssigkeiten von verschiedener Dichte, welche über einander einen unbekannten Kern bedecken, confocale Ellipsoide sein müssen, wenn sie überhaupt Ellipsoide und zugleich Niveauflächen sind. Es wird bewiesen, dass dies nur dann möglich wäre, wenn inwendig Schichten von geringerer Dichte als an der äussersten Schicht vorkämen, was für die Erde kaum anzunehmen ist.