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On Diophantine equations of genus zero. (Ueber die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null.) (German) JFM 23.0190.01

Aus den Ergebnissen einer Arbeit des Herrn Nöther: “Rationale Ausführung der Operationen in der Theorie der algebraischen Functionen” (Math. Ann. XXIII. 311-358, F. d. M. XVI. 1884. 349-350, JFM 16.0349.01) entnahmen die Verfasser die Möglichkeit, jede ganze ganzzahlige homogen Function vom \(n^{\text{ten}}\) Grade und vom Geschlechte Null auf eine eben solche Function \((n-2)^{\text{ten}}\) Grades zu reduciren. Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt zu einer Gleichung dritten oder zweiten Grades. Beide Fälle werden genau discutirt, und angegeben, wann die vorgelegte diophantische Gleichung keine Lösung, eine endliche Anzahl von Lösungen oder unendlich viele Lösungen besitzt. Die singulären Lösungen müssen stets durch eine besondere Discussion gefunden werden.

MSC:

11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
11D45 Counting solutions of Diophantine equations

Citations:

JFM 16.0349.01
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References:

[1] Mathematische Annalen, Bd. 23, S. 311 ff.
[2] Legendre:Théorie des nombres, 3me éd. T. I. §§ III, IV. (Deutsch vonH. Maser, Leipzig 1886.) Vgl. auchLejeune-Dirichlet:Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben vonR. Dedekind, 3. Aufl. § 157 des X. Supplementes.
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