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On the sums of the inverse powers of the prime numbers. (English) JFM 23.0275.02

Es handelt sich um die Reihen: \[ (1) \qquad \varSigma_n = \frac 1 {2^n} + \frac 1 {3^n} + \frac 1 {5^n} + \frac 1 {7^n} + \frac 1 {11^n} + \cdots, \]
\[ (2) \qquad S_n = 1 + \frac 1 {2^n} + \frac 1 {3^n} + \frac 1 {4^n} + \frac 1 {5^n} + \frac 1 {6^n} + \cdots. \] Auf Grund der Formel \[ S_{2n}= \frac 1 2\;\frac {(2\pi)^{2n}B_n} {(2n)!}, \] worin \(B_n\) die \(n^{\text{te}}\) Bernoulli’sche Zahl bezeichnet, werden die Werte von \(\log S_{2n}\) bis auf 24 Stellen berechnet für \(n=1,2,3,\dots,11\); sodann wird der Wert von \(S_{2n}\) für \(n=12,13,\dots\) aus der Reihe (2) ermittelt: \[ S_{2n} = 1 + \frac 1 {2^{2n}} + \frac 1 {3^{2n}} + \frac 1 {4^{2n}} + \frac 1 {5^{2n}} + \cdots \] und daraus mittels der Correction \[ -\tfrac 1 2\, \frac 1 {4^{2n}} - \frac 1 {6^{2n}} - \tfrac 2 3 \,\frac 1 {8^{2n}} - \tfrac 1 2\, \frac 1 {9^{2n}} \] \(\log S_{2n}\) für \(n=12,13,\dots,40\) bis auf 24 Stellen berechnet.
Zum Vergleiche wurde die angenäherte Formel \[ \log S_{2n} = \frac 1 {2^{2n}} + \frac 1 {3^{2n}} + \tfrac 1 2\, \frac 1 {4^{2n}} + \frac 1 {5^{2n}} + \frac 1 {7^{2n}} + \tfrac 1 3\, \frac 1 {8^{2n}} + \tfrac 1 2\, \frac 1 {9^{2n}} + \frac 1 {10^{2n}} \] benutzt.
Auf Grund der Formel: \[ \begin{split} \varSigma_n = \log S_n - \tfrac 1 2 \log S_{2n} - \tfrac 1 3 \log S_{3n} - \tfrac 1 5 \log S_{5n} - \tfrac 1 6 \log S_{6n} - \tfrac 1 7 \log S_{7n} \\ + \tfrac 1 {10} \log S_{10n} - \tfrac 1 {11} \log S_{11n} - \cdots \end{split} \] werden sodann die Werte von \(\varSigma_n\) für \(n=2,4,6,\dots,80\) gleichfalls bis auf 24 Stellen berechnet. Zum Vergleiche wurde die Reihe (1) benutzt. Zur weiteren Verificirung wird von den Formeln \[ \begin{aligned} & \varSigma_2 - \tfrac 1 2 \varSigma_4 + \tfrac 1 3 \varSigma_6 - \tfrac 1 4 \varSigma_8 + \cdots = \log \left( \frac {15} {\pi^2} \right),\\ & \varSigma_2 + \tfrac 1 2 \varSigma_4 + \tfrac 1 3 \varSigma_6 + \tfrac 1 4 \varSigma_8 + \cdots = \log S_2\end{aligned} \] Gebrauch gemacht, und es werden die Werte von \(\frac 1 n \,\varSigma_n\) für \(n=2,4,\dots,74\) berechnet.
Nach einigen historischen Bemerkungen über Euler’s und Merrifield’s Zahlen werden noch Ausdrücke für \[ \frac 1 {B_n},\;\frac {B_n} {B_{2n}},\;\frac {B_n^2} {B_{2n}}, \] z.B. \[ 2\;\frac {(2n)!} {(2n)^{2n}} \cdot \frac 1 {B_n} = \left(1 - \frac 1 {2^{2n}} \right) \left(1 - \frac 1 {3^{2n}} \right) \left(1 - \frac 1 {5^{2n}} \right) \dots, \] und schliesslich die Formeln gegeben: \[ \varSigma_{2n} + \varSigma_{4n} + \varSigma_{6n} + \cdots = \frac 1 {2^{2n}-1} + \frac 1 {3^{2n}-1} + \frac 1 {5^{2n}-1} + \dots, \]
\[ \varSigma_{2n+2} + \varSigma_{2n+4} + \varSigma_{2n+6} + \cdots = \frac 1 {1.2^{2n}.3} + \frac 1 {2.3^{2n}.4} + \frac 1 {4.5^{2n}.6} + \cdot. \]

MSC:

11L20 Sums over primes
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