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Formule des différences et formule de Taylor. (French) JFM 23.0287.03

Nouv. Ann. (3) X. 24-29 (1891).
Giebt man in der Function \(u=f(x)\) dem Argument \(x\) die Werte \(x,x+\varDelta x,x+2\varDelta x,\dots,x+n\varDelta x\) und bildet die Werte der Function und ihrer succesiven Differenzen, so erhält man die Formel: \[ u_n=u_0+C_n^1\varDelta u_0+C_n^2\varDelta^2u_0+\cdots+C_n^{p-1}\varDelta^{p-1}u_0+Q_p, \] wo \[ Q_p=C_{n-1}^{p-1}\varDelta^p u_0+C_{n-2}^{p-1}\varDelta^p u_1+\cdots+C_{p-1}^{p-1}\varDelta^p u_{n-p}. \] Hieraus kann man die Taylor’sche Reihe herleiten; es ergiebt sich z. B. \[ f(x+h)=f(x)+\tfrac h1\,f'(x)+\tfrac{h^2}{1.2}\,f''(x)+R_3, \]
\[ R_3=\int_x^{x+h}dz\int_x^z dz\int_x^z f'''(z)dz. \] Der Verfasser hält es überhaupt für vorteilhaft, die Differential- und Integral-Rechnung durch die Differenzenrechnung zu begründen.