Painlevé, P. Mémoire sur les équations différentielles du premier ordre. (French) JFM 23.0317.01 Ann. de l’Éc. Norm. (3) VIII, 9-58 (1891); VIII, 103-140, 201-226, 267-284 (1891). Herr Fuchs hat bekanntlich zuerst die Bedingungen dafür festgesstellt, dass eine Differentialgleichung erster Ordnung nur feste Verzweigungspunkte besitze (Berl. Ber. 1884, F. d. M. XVI. 1884. 284, JFM 16.0283.02). Dabei ist bereits auf die Bedeutung hingewiesen, die dem Geschlechte \(p\) der durch die Differentialgleichung \(f(x,y,y')=0\) gegebenen algebraischen Relation zwischen \(y\) und \(y'\;(x\) als constant betrachtet) zukommt. Eine nähere Discussion hat dann Herrn Poincaré zu dem Satze geführt, dass für \(p>1\) die Differentialgleichungen mit festen Verzweigungspunkten stets algebraisch integrirbar sind (Sur un théorème de M. Fuchs, Acta Math. VII, F. d. M. XVII. 1885. 279, JFM 17.0279.01). Die vorliegende, von der Pariser Akademie der Wissenschaften preisgekrönte Arbeit bezweckt die Erweiterung der betreffenden Untersuchungen auf den Fall, dass die in \(y\) und \(y'\) algebraische Differentialgleichung \(f(x,y,y')=0\), deren Coefficienten von \(x\) beliebig abhängen, ausser den festen noch bewegliche Verzweigungspunkte habe, derart jedoch, dass ein beliebiges Integral \(y\) nur eine endliche Anzahl \(n\) von Werten in einem Punkte \(x\) annimmt, falls man durch einen Schnitt, der durch sämtliche feste Verzweigungspunkte in der \(x\)-Ebene geführt wird, die unabhängige Variable verhindert, bei ihren Umläufen einen der festen Verzweigungspunkte zu umkreisen. Der Verf. bedient sich dafür der Bezeichnung, dass das allgemeine Integral nur \(n\) Werte um bewegliche Verzweigungspunkte habe. Sind \(y_1,\dots,y_n\) die \(n\) Werte, so wird jede symmetrische Function derselben einer Differentialgleichung mit nur festen Verzweigungspunkten genügen und daher eine rationale Function von \(y_0,y_0'\) (\(x\) als constant betrachtet), wo \(y_0\) und \(y_0'\) der Gleichung \(f(x_0,y_0,y_0')=0\) unterworfen sind. Das allgemeine Integral kann daher in der Form geschrieben werden \[ y^n+R_{n-1}(y_0,y_0',x_0,x)y^{n-1}+\cdots+R_0(y_0,y_0',x_0,x)=0 \] oder \[ y_0^n+R_{n-1}(y,y',x,x_0)y_0^{n-1}+\cdots+R_0(y,y',x,x_0)=0, \] worin die \(R\) rationale Functionen von \(y_0,y_0'\), resp. \(y,y'\) bezeichnen. Hiernach sind \[ R_i(y,y',x,x_0)=C_i \] und allgemein \[ r=\varphi(R_1,R_2,\dots,\frac{\partial R_1}{\partial x_0}\,,\frac{\partial R_2}{\partial x_0}\,,\dots)=c \] Integrale der Gleichung (“constante Integrale”). Zwei von ihnen \[ i=r(y,y',x),\quad i_1=r_1(y,y',x) \] sind durch eine algebraische Relation \(H(i,i_1,x)=0\) verknüpft, die man erhält, wenn \(y\) und \(y'\) aus den vorstehenden Gleichungen und der vorgelegten Differentialgleichung \(f(y,y',x)=0\) eliminirt werden; die anderen drücken sich rational durch \(c\) und \(c_1\) aus. Zwischen den Punkten \((c,c_1)\) der Curve \(H=0\) und den Punkten \((y,y')\) der Curve \(f=0\) (\(x\) als constant betrachtet) besteht eine rationale Transformation von der Ordnung \(n\), in dem Sinne, dass \(n\) Punkte \((y,y')\) einem Punkte \((c,c_1)\) entsprechen. Eine ausführliche Untersuchung der Eigenschaften dieser Transformation ergiebt, falls \(w\) das Geschlecht von \(H=0\), \(p\) das von \(f=0\) bedeutet, folgendes Resultat: 1) \(w\) ist höchstens gleich \(p\). 2) Zwischen den Zahlen \(n,p,w\) besteht, falls \(w>1\) ist, die Beziehung \(n=\frac{p-1}{w-1}\), so dass, wenn \(w>1,\;n\) ein Teiler von \(p-1\) ist. Man kann ferner alle Klassen von Curven des Geschlechts \(w>1\), die eine rationale Transformation in \(f=0\) gestatten, berechnen (ihre Anzahl ist endlich) und daher durch algebraische Operationen erkennen, ob eine Curve \(H=0\) mit \(w>1\) existirt. In diesem Falle erhält man das Integral selbst auf algebraischem Wege. Ist \(w=1\), dann muss ein Abel’sches Integral erster Gattung von \(f=0\) existiren, das nur zwei Perioden hat, und um dieses zu erhalten, bedarf es der Lösung einer linearen Differentialgleichung höchstens \((p-1)^{\text{ter}}\) Ordnung. Alsdann ergiebt sich das Integral der vorgelegten Gleichung durch Quadratur. Der Fall \(w=0\) entzieht sich gänzlich dieser Methode, die \(n\) nicht als bekannt voraussetzt. Der Verfasser giebt jedoch einen Weg an, mittels einer begrenzten Anzahl von algebraischen Operationen zu entscheiden, ob das allgemeine Integral von \(f=0\) nur \(n\) Werte um bewegliche Verzweigungspunkte habe, falls die Zahl \(n\) im voraus gegeben ist. Die Integration wird dann auf die einer Gleichung mit nur festen Verzweigungspunkten, deren Geschlecht \(w\) ist, zurückgeführt. Ist nun \(w=0\), so lässt sich diese bekanntlich auf eine Riccati’sche Gleichung zurückführen. Reviewer: Hamburger, Prof. (Berlin) Cited in 5 ReviewsCited in 8 Documents JFM Section:Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Capitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Citations:JFM 16.0283.02; JFM 17.0279.01 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI Numdam Numdam Numdam Numdam EuDML